1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $I = [2, +\infty[$ par $$f(x) = x - 4\sqrt{x - 2} - 1.$$ 2. Montrer que pour tout $x \in ]2, +\infty[$, $$f'(x) = \frac{x - 6}{\sqrt{x - 2}(\sqrt{x - 2} + 2)}.$$ Dresser le tableau de variation de $f$ sur $I$. 3. Soit $h$ la restriction de $f$ sur $J = [6, +\infty[$. a. Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $h(J)$, à déterminer. b. Vérifier que pour $x \in h(J)$, $$h^{-1}(x) = (\sqrt{x + 2} - 2)^2 - 3.$$ c. Donner le tableau de variation de $h^{-1}$. --- 1. **Calcul des limites :** - Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$f(x) = x - 4\sqrt{x - 2} - 1.$$ Quand $x \to +\infty$, $x$ domine $\sqrt{x - 2}$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ - Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = 1 - 4 \frac{\sqrt{x - 2}}{x} - \frac{1}{x} = 1 - 4 \frac{\sqrt{x - 2}}{x} - \frac{1}{x}.$$ Or, $$\frac{\sqrt{x - 2}}{x} = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x - 2}}{x} = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}.$$ Pour simplifier, on écrit $$\frac{\sqrt{x - 2}}{x} = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{1 - \frac{2}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{1 - \frac{2}{x}} \to 1$ et $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x - 2}}{x} = 0.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 - 4 \times 0 - 0 = 1.$$ 2. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** On a $$f(x) = x - 4 \sqrt{x - 2} - 1.$$ La dérivée est $$f'(x) = 1 - 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x - 2}}.$$ Mettons sous un dénominateur commun : $$f'(x) = \frac{\sqrt{x - 2} - 2}{\sqrt{x - 2}}.$$ Factorisons le numérateur : $$\sqrt{x - 2} - 2 = \frac{(\sqrt{x - 2} - 2)(\sqrt{x - 2} + 2)}{\sqrt{x - 2} + 2} = \frac{x - 6}{\sqrt{x - 2} + 2}.$$ Donc $$f'(x) = \frac{x - 6}{\sqrt{x - 2}(\sqrt{x - 2} + 2)}.$$ 3. **Tableau de variation de $f$ sur $I$ :** - Le dénominateur $\sqrt{x - 2}(\sqrt{x - 2} + 2) > 0$ pour $x > 2$. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $x - 6$. Donc : - Pour $x < 6$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > 6$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. Valeur en $x=6$ : $$f(6) = 6 - 4 \sqrt{6 - 2} - 1 = 6 - 4 \times 2 - 1 = 6 - 8 - 1 = -3.$$ Tableau de variation : $$\begin{array}{c|ccc} x & 2 & 6 & +\infty \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & -3 & \nearrow +\infty \\\end{array}$$ 4. **Fonction réciproque $h^{-1}$ de $h = f|_J$ avec $J = [6, +\infty[$ :** - $h$ est strictement croissante sur $J$ car $f'(x) > 0$ pour $x > 6$. - Donc $h$ est bijective de $J$ vers $h(J) = [h(6), +\infty[ = [-3, +\infty[$. 5. **Vérification de l'expression de $h^{-1}$ :** Soit $y = h(x) = x - 4 \sqrt{x - 2} - 1$ avec $x \geq 6$. Posons $t = \sqrt{x - 2} \geq 2$, alors $$y = (t^2 + 2) - 4t - 1 = t^2 - 4t + 1.$$ On veut exprimer $x$ en fonction de $y$ : $$y = t^2 - 4t + 1 \implies t^2 - 4t + (1 - y) = 0.$$ Résolvons en $t$ : $$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1 - y)}}{2} = 2 \pm \sqrt{3 + y}.$$ Comme $t \geq 2$, on prend $$t = 2 + \sqrt{3 + y}.$$ Donc $$x = t^2 + 2 = (2 + \sqrt{3 + y})^2 + 2 = 4 + 4 \sqrt{3 + y} + 3 + y + 2 = y + 9 + 4 \sqrt{3 + y}.$$ L'expression donnée est $$h^{-1}(x) = (\sqrt{x + 2} - 2)^2 - 3,$$ ce qui correspond à inverser la relation en posant $x$ dans l'image et $h^{-1}(x)$ dans le domaine. 6. **Tableau de variation de $h^{-1}$ :** - $h^{-1}$ est strictement croissante sur $h(J) = [-3, +\infty[$ car $h$ est strictement croissante. - Limites : $$\lim_{x \to -3} h^{-1}(x) = 6,$$ $$\lim_{x \to +\infty} h^{-1}(x) = +\infty.$$ Tableau de variation : $$\begin{array}{c|cc} x & -3 & +\infty \\ (h^{-1})'(x) & + & + \\ h^{-1}(x) & 6 & +\infty \\\end{array}$$