1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x - 2| + |x + 2|}{|x| - 1}.$$ 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** Le dénominateur $|x| - 1$ ne doit pas être nul, donc $$|x| - 1 \neq 0 \implies |x| \neq 1 \implies x \neq -1 \text{ et } x \neq 1.$$ Ainsi, $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.$$ 3. **Écrire $f$ sans valeur absolue :** On étudie les expressions selon les intervalles définis par les points où les expressions absolues changent de signe : $-2$, $-1$, $1$, $2$. - Pour $x \geq 2$ : $$|x-2| = x-2, \quad |x+2| = x+2, \quad |x| = x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(x-2)+(x+2)}{x-1} = \frac{2x}{x-1}.$$ - Pour $1 < x < 2$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = x+2, \quad |x| = x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(2-x)+(x+2)}{x-1} = \frac{4}{x-1}.$$ - Pour $0 \leq x \leq 1$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = x+2, \quad |x| = x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(2-x)+(x+2)}{x-1} = \frac{4}{x-1}.$$ - Pour $-1 < x < 0$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = x+2, \quad |x| = -x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(2-x)+(x+2)}{-x-1} = \frac{4}{-x-1} = \frac{4}{-(x+1)} = -\frac{4}{x+1}.$$ - Pour $-2 < x \leq -1$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = -x - 2, \quad |x| = -x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(2-x)+(-x-2)}{-x-1} = \frac{-2x}{-x-1} = \frac{2x}{x+1}.$$ - Pour $x \leq -2$ : $$|x-2| = 2 - x, \quad |x+2| = -x - 2, \quad |x| = -x.$$ Donc $$f(x) = \frac{(2-x)+(-x-2)}{-x-1} = \frac{-2x}{-x-1} = \frac{2x}{x+1}.$$ 4. **Montrer que $f$ est paire :** Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{|{-x} - 2| + |{-x} + 2|}{|{-x}| - 1} = \frac{|-(x+2)| + |-(x-2)|}{|x| - 1} = \frac{|x+2| + |x-2|}{|x| - 1} = f(x).$$ Donc $f$ est paire. 5. **Étudier les variations sur $[0,1[$, $]1,2]$ et $[2,+\infty[$ :** - Sur $[0,1[$ : $$f(x) = \frac{4}{x-1}.$$ La fonction est définie sur $[0,1[$ avec $x-1 < 0$, donc $f(x)$ est négative. La dérivée est $$f'(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} < 0,$$ donc $f$ est strictement décroissante sur $[0,1[$. - Sur $]1,2]$ : $$f(x) = \frac{4}{x-1}.$$ Ici $x-1 > 0$, donc $f(x) > 0$. La dérivée est toujours négative, donc $f$ est strictement décroissante sur $]1,2]$. - Sur $[2,+\infty[$ : $$f(x) = \frac{2x}{x-1}.$$ La dérivée est $$f'(x) = \frac{2(x-1) - 2x}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} < 0,$$ Donc $f$ est strictement décroissante sur $[2,+\infty[$. 6. **Variations sur $D_f$ :** Puisque $f$ est paire et décroissante sur $[0,1[$, $]1,2]$ et $[2,+\infty[$, les variations sur $D_f$ sont symétriques et décroissantes sur chaque intervalle. 7. **Valeurs maximale et minimale sur $]-1,1[$ :** Sur $]-1,0[$ : $$f(x) = -\frac{4}{x+1}.$$ La dérivée est $$f'(x) = \frac{4}{(x+1)^2} > 0,$$ donc $f$ est croissante sur $]-1,0[$. Sur $[0,1[$ : $$f(x) = \frac{4}{x-1},$$ décroissante. Calcul des limites : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\frac{4}{-1+1} = -\frac{4}{0^+} = -\infty,$$ $$f(0) = \frac{4}{0-1} = -4,$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{4}{1^- -1} = +\infty.$$ Donc sur $]-1,1[$, $f$ atteint un minimum local en $x=0$ avec $f(0) = -4$ et n'a pas de maximum fini. 8. **Construction de la courbe $(C_f)$ :** La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). Elle présente des discontinuités en $x = -1$ et $x = 1$ (dénominateur nul). Les variations sont décroissantes sur chaque intervalle défini. **Réponse finale :** $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,1\},$$ $$f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{x-1} & x \geq 2 \\ \frac{4}{x-1} & 1 < x < 2 \\ \frac{4}{x-1} & 0 \leq x \leq 1 \\ -\frac{4}{x+1} & -1 < x < 0 \\ \frac{2x}{x+1} & x \leq -1 \end{cases},$$ $f$ est paire, décroissante sur chaque intervalle, avec un minimum local $f(0) = -4$ sur $]-1,1[$.