1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x-2| + |x+2|}{|x|} - 1$$ Nous devons : - Déterminer le domaine de définition $D_f$. - Écrire $f$ sans valeur absolue. - Montrer que $f$ est paire. - Étudier ses variations sur les intervalles $[0,1[$, $]1,2]$, et $[2,+\infty[$. - En déduire les variations sur $D_f$. - Trouver les valeurs maximale et minimale sur $]-1,1[$. - Construire la courbe $(C_f)$. 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** La fonction contient $|x|$ au dénominateur, donc $x \neq 0$. Les valeurs absolues sont définies partout. Donc $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 3. **Écrire $f$ sans valeur absolue :** On analyse les signes dans chaque intervalle : - Pour $x > 2$ : $x-2 > 0$, $x+2 > 0$, $x > 0$ donc $$f(x) = \frac{(x-2)+(x+2)}{x} - 1 = \frac{2x}{x} - 1 = 2 - 1 = 1$$ - Pour $1 < x \leq 2$ : $x-2 \leq 0$, $x+2 > 0$, $x > 0$ donc $$f(x) = \frac{-(x-2)+(x+2)}{x} - 1 = \frac{-x+2+x+2}{x} - 1 = \frac{4}{x} - 1$$ - Pour $0 < x \leq 1$ : $x-2 < 0$, $x+2 > 0$, $x > 0$ donc même expression que ci-dessus : $$f(x) = \frac{4}{x} - 1$$ - Pour $-2 \leq x < 0$ : $x-2 < 0$, $x+2 \leq 0$, $x < 0$ donc $$f(x) = \frac{-(x-2) - (x+2)}{-x} - 1 = \frac{-x+2 - x - 2}{-x} - 1 = \frac{-2x}{-x} - 1 = 2 - 1 = 1$$ - Pour $x < -2$ : $x-2 < 0$, $x+2 < 0$, $x < 0$ donc $$f(x) = \frac{-(x-2) - (x+2)}{-x} - 1 = 1$$ 4. **Montrer que $f$ est paire :** Calculons $f(-x)$ pour $x \neq 0$ : $$f(-x) = \frac{| -x - 2| + | -x + 2|}{|-x|} - 1 = \frac{|-(x+2)| + |-(x-2)|}{|x|} - 1 = \frac{|x+2| + |x-2|}{|x|} - 1 = f(x)$$ Donc $f$ est paire. 5. **Étudier les variations sur $[0,1[$, $]1,2]$, $[2,+\infty[$ :** - Sur $]0,1[$ : $f(x) = \frac{4}{x} - 1$. La dérivée est $$f'(x) = -\frac{4}{x^2} < 0$$ donc $f$ est décroissante sur $]0,1[$. - Sur $]1,2]$ : même expression, même dérivée, donc décroissante aussi. - Sur $[2,+\infty[$ : $f(x) = 1$ constante. 6. **Variations sur $D_f$ :** Par parité, les variations sur $]-\infty,0[$ sont symétriques. Donc $f$ décroît sur $]-1,0[$ et $]0,1[$, décroît sur $]1,2]$, et est constante sur $[2,+\infty[$. 7. **Valeurs maximale et minimale sur $]-1,1[$ :** Sur $]0,1[$, $f(x) = \frac{4}{x} - 1$ décroissante, donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, \quad f(1) = 3$$ Par parité, sur $]-1,0[$, $f$ décroît aussi. Donc $f$ n'a pas de maximum fini sur $]-1,1[$ (tend vers $+\infty$ en 0), et la valeur minimale est $f(1) = 3$. 8. **Construction de la courbe $(C_f)$ :** - $f$ est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - Sur $[2,+\infty[$, $f=1$. - Sur $]1,2]$, $f$ décroît de $3$ à $1$. - Sur $]0,1[$, $f$ décroît de $+\infty$ à $3$. - Symétrie sur $]-\infty,0[$. **Résumé final :** $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ $$f(x) = \begin{cases} 1 & |x| \geq 2 \\ \frac{4}{|x|} - 1 & 0 < |x| < 2 \end{cases}$$ $f$ est paire. $f$ décroît sur $]0,2[$ et est constante égale à 1 sur $[2,+\infty[$. Sur $]-1,1[$, $f$ tend vers $+\infty$ en 0, minimum $3$ en $\pm 1$.