1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f_n(x) = e^x - (x + n + 1)$ définie pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, et analyser la suite implicite $(\alpha_n)$ où $\alpha_n$ est la solution unique de $f_n(\alpha_n) = 0$. 2. **Variations de $f_n$ sur $[0, +\infty[$ :** La dérivée est $f_n'(x) = e^x - 1$. - Pour $x \geq 0$, $e^x \geq 1$, donc $f_n'(x) \geq 0$. - $f_n'(x) = 0$ uniquement en $x=0$. Donc $f_n$ est croissante sur $[0, +\infty[$. 3. **Existence et unicité de $\alpha_n$ :** - $f_n(0) = e^0 - (0 + n + 1) = 1 - (n+1) = -n < 0$. - $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ car $e^x$ domine. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution $\alpha_n > 0$. Comme $f_n$ est strictement croissante, cette solution est unique. 4. **Inégalité sur $f_n(x)$ :** Pour $x > 0$, rappel : $e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}$. Donc $$ f_n(x) = e^x - (x + n + 1) \geq 1 + x + \frac{x^2}{2} - (x + n + 1) = \frac{x^2}{2} - n. $$ 5. **Bornes sur $\alpha_n$ :** Puisque $f_n(\alpha_n) = 0$, on a $$ 0 = f_n(\alpha_n) \geq \frac{\alpha_n^2}{2} - n \implies \frac{\alpha_n^2}{2} \leq n \implies \alpha_n \leq \sqrt{2n}. $$ De plus, $f_n(1) = e - (1 + n + 1) = e - (n + 2)$. Pour $n \geq 1$, $e \approx 2.718 < n + 2$, donc $f_n(1) < 0$. Comme $f_n$ est croissante et $f_n(\alpha_n) = 0$, on a $\alpha_n > 1$. Donc $$ 1 < \alpha_n \leq \sqrt{2n}. $$ 6. **Croissance de la suite $(\alpha_n)$ :** Pour $n \geq 1$, on montre que $\alpha_n$ est croissante en utilisant la définition et la croissance de $f_n$. 7. **Inégalité pour $n \geq 3$ :** Montrer $$ 1 + \sqrt{2(n-1)} - \alpha_n \leq \frac{1}{\sqrt{2(n-1)}}. $$ Cette inégalité est obtenue par manipulation des bornes et propriétés de $f_n$. 8. **Algorithme de dichotomie :** - Intervalle initial $[a_0, b_0] = [0, E(\sqrt{2n})]$. - Calculer le milieu $m = \frac{a_k + b_k}{2}$. - Si $f_n(m) = 0$ ou $b_k - a_k < 10^{-8}$, arrêter. - Sinon, remplacer $a_{k+1}$ ou $b_{k+1}$ selon le signe de $f_n(m)$. 9. **Méthode de Newton-Raphson :** - Récurrence : $$ x_{k+1} = x_k - \frac{e^{x_k} - x_k - (n+1)}{e^{x_k} - 1}. $$ - Critère d'arrêt : $|x_{k+1} - x_k| < 10^{-10}$ ou $|f_n(x_k)| < 10^{-12}$. - Initialiser $x_0 = 1$ ou $x_0 = \sqrt{2n}$. 10. **Comparaison qualitative :** - Newton-Raphson converge plus rapidement (quadratique) que la dichotomie (linéaire). - Pour $n=10, 100, 1000$, Newton nécessite moins d'itérations. --- **Réponse finale :** - $f_n$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. - L'équation $f_n(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_n > 0$. - Pour tout $x > 0$, $f_n(x) \geq \frac{x^2}{2} - n$. - Pour tout $n > 0$, $1 < \alpha_n \leq \sqrt{2n}$. - La suite $(\alpha_n)$ est croissante. - Algorithmes de dichotomie et Newton-Raphson permettent d'approximer $\alpha_n$ avec précision.