1. Énoncé du problème : Déterminer la fonction réciproque $g^{-1}$ de la restriction $g$ de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x-2)^2}$ sur l'intervalle $[0;2[$. 2. Compréhension de la fonction : La fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x-2)^2}$ est définie pour $x \geq 0$ sauf en $x=2$ où le dénominateur s'annule. La restriction $g$ est donc $g : [0,2[ \to \mathbb{R}$. 3. Étude de la fonction $g$ sur $[0,2[$ : - $\sqrt{x}$ est croissante sur $[0,2[$. - $(x-2)^2$ est positive et décroissante sur $[0,2[$ (car $x-2$ est négatif, mais au carré). 4. Trouvons l'expression de $g^{-1}$ : Posons $y = g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x-2)^2}$ avec $x \in [0,2[$. 5. Isolons $x$ en fonction de $y$ : $$ y = \frac{\sqrt{x}}{(x-2)^2} \implies y (x-2)^2 = \sqrt{x} $$ 6. Posons $t = \sqrt{x}$, donc $x = t^2$ : $$ y (t^2 - 2)^2 = t $$ 7. Développons : $$ y (t^4 - 4 t^2 + 4) = t $$ $$ y t^4 - 4 y t^2 + 4 y = t $$ 8. Réarrangeons : $$ y t^4 - 4 y t^2 - t + 4 y = 0 $$ 9. Cette équation est un polynôme quartique en $t$ difficile à résoudre explicitement. 10. Conclusion : La fonction réciproque $g^{-1}$ n'a pas d'expression simple en forme fermée. 11. Pour des valeurs numériques de $y$, on peut résoudre numériquement l'équation quartique pour $t = \sqrt{x}$, puis calculer $x = t^2$. 12. Ainsi, $g^{-1}(y)$ est la solution positive de $$ y (\sqrt{x} - 2)^2 = \sqrt{x} $$ avec $x \in [0,2[$. Réponse finale : La fonction réciproque $g^{-1}$ est définie implicitement par $$ y (\sqrt{x} - 2)^2 = \sqrt{x} $$ avec $x \in [0,2[$, et ne s'exprime pas simplement en fonction explicite de $y$.