1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$. 2. **Détermination du domaine de définition $D_f$ :** La fonction contient $\sqrt{x}$, donc $x \geq 0$. Donc, $D_f = [0, +\infty[$. 3. **Calcul des limites aux extrémités de $D_f$ :** - Limite en $0$ : $$\lim_{x \to 0^+} (\sqrt{x} - 1)^2 = (0 - 1)^2 = 1.$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 1)^2 = +\infty$$ car $\sqrt{x} \to +\infty$. 4. **Interprétation des résultats :** La fonction est définie pour $x \geq 0$, elle vaut 1 en 0 et tend vers l'infini quand $x$ grandit. 5. **Dérivabilité à droite de 0 :** Calculons la dérivée à droite en 0 : $$f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}.$$ Pour $x \to 0^+$, le numérateur tend vers $-1$, le dénominateur tend vers $0^+$, donc $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = -\infty.$$ La fonction est dérivable à droite de 0 mais la pente est infiniment négative, ce qui signifie un angle très aigu vers le bas au point 0. 6. **Vérification de la dérivée donnée :** Partons de $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1$. Dérivons : $$f'(x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.$$ Mettons sous un dénominateur commun avec $(\sqrt{x} + 1)$ : $$f'(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}.$$ La formule est donc correcte. 7. **Tableau de variation :** - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croissante. - Pour $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroissante. - En $x=1$, $f'(1) = 0$ (minimum). Valeurs clés : $$f(0) = 1, \quad f(1) = (1 - 1)^2 = 0.$$ 8. **Position relative de $(C_f)$ par rapport à la droite $y = x$ :** Étudions $f(x) - x = (\sqrt{x} - 1)^2 - x = x - 2\sqrt{x} + 1 - x = 1 - 2\sqrt{x}.$ - Si $1 - 2\sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} < \frac{1}{2} \Rightarrow x < \frac{1}{4}$, alors $f(x) > x$. - Si $x = \frac{1}{4}$, $f(x) = x$. - Si $x > \frac{1}{4}$, $f(x) < x$. Donc la courbe est au-dessus de la droite $y=x$ pour $x < \frac{1}{4}$, touche la droite en $x=\frac{1}{4}$, puis est en dessous pour $x > \frac{1}{4}$. 9. **Résumé :** - Domaine : $[0, +\infty[$ - Limites : $f(0) = 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - Dérivée : $f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ - Variation : décroissante sur $[0,1]$, croissante sur $[1,+\infty[$ - Minimum en $x=1$ avec $f(1)=0$ - Position relative à $y=x$ : au-dessus pour $x < \frac{1}{4}$, en dessous pour $x > \frac{1}{4}$