1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \sqrt{\frac{4x - 1}{-x + 2}}.$$ 2. **Déterminer l'ensemble de définition $D_f$** : - Le radicande doit être positif ou nul : $$\frac{4x - 1}{-x + 2} \geq 0.$$ - Le dénominateur ne doit pas être nul : $$-x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2.$$ 3. **Étudier le signe de la fraction** : - Zéros du numérateur : $4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. - Zéros du dénominateur : $-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. 4. **Tableau de signes** : - Pour $x < \frac{1}{4}$, $4x - 1 < 0$. - Pour $x < 2$, $-x + 2 > 0$. Donc la fraction est positive si : - $x \leq \frac{1}{4}$ (numérateur négatif, dénominateur positif) donne fraction négative, donc exclu. - $\frac{1}{4} \leq x < 2$ (numérateur positif, dénominateur positif) fraction positive. - Pour $x > 2$, numérateur positif, dénominateur négatif donc fraction négative. Donc $$D_f = \left[\frac{1}{4}, 2\right[.$$ 5. **Calcul des limites aux bornes** : - Limite en $x \to \frac{1}{4}^+$ : $$\lim_{x \to \frac{1}{4}^+} f(x) = \sqrt{\frac{4\cdot \frac{1}{4} - 1}{-\frac{1}{4} + 2}} = \sqrt{\frac{1 - 1}{1.75}} = 0.$$ - Limite en $x \to 2^-$ : $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \sqrt{\frac{4x - 1}{-x + 2}} = +\infty$$ car le dénominateur tend vers 0 positif et le numérateur vers $4\cdot 2 - 1 = 7 > 0$. 6. **Calcul de la dérivée $f'$** : On pose $$u(x) = \frac{4x - 1}{-x + 2}.$$ Alors $$f(x) = \sqrt{u(x)} = u(x)^{1/2}.$$ La dérivée est : $$f'(x) = \frac{1}{2} u(x)^{-1/2} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}.$$ Calculons $u'(x)$ : $$u'(x) = \frac{(4)(-x + 2) - (4x - 1)(-1)}{(-x + 2)^2} = \frac{4(-x + 2) + (4x - 1)}{(-x + 2)^2} = \frac{-4x + 8 + 4x - 1}{(-x + 2)^2} = \frac{7}{(-x + 2)^2}.$$ Donc $$f'(x) = \frac{7}{2 (-x + 2)^2 \sqrt{\frac{4x - 1}{-x + 2}}} = \frac{7}{2 (-x + 2)^2} \cdot \sqrt{\frac{-x + 2}{4x - 1}} = \frac{7}{2 (-x + 2)^{3/2} \sqrt{4x - 1}}.$$ 7. **Étude du signe de $f'$ sur $D_f$** : - Sur $\left[\frac{1}{4}, 2\right[$, $4x - 1 > 0$ et $-x + 2 > 0$, donc $f'(x) > 0$. 8. **Tableau de variation** : - $f$ est croissante sur $\left[\frac{1}{4}, 2\right[$. - $f\left(\frac{1}{4}\right) = 0$. - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. 9. **Bijection et image** : - $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[\frac{1}{4}, 2\right[$. - Donc $f$ réalise une bijection de $\left[\frac{1}{4}, 2\right[$ sur $J = [0, +\infty[$. 10. **Bijection réciproque $f^{-1}$** : - $D_{f^{-1}} = J = [0, +\infty[$. 11. **Expression de $f^{-1}$** : - Posons $y = f(x) = \sqrt{\frac{4x - 1}{-x + 2}}$. - Élevons au carré : $$y^2 = \frac{4x - 1}{-x + 2} \Rightarrow y^2(-x + 2) = 4x - 1.$$ - Développons : $$-y^2 x + 2 y^2 = 4x - 1.$$ - Regroupons les termes en $x$ : $$-y^2 x - 4x = -1 - 2 y^2$$ $$x(-y^2 - 4) = -1 - 2 y^2$$ $$x = \frac{-1 - 2 y^2}{-y^2 - 4} = \frac{1 + 2 y^2}{4 + y^2}.$$ Donc $$f^{-1}(y) = \frac{1 + 2 y^2}{4 + y^2}.$$ 12. **Résumé final** : - $D_f = \left[\frac{1}{4}, 2\right[$. - $f$ est strictement croissante de 0 à $+\infty$. - $f$ est bijective sur $J = [0, +\infty[$. - $f^{-1}(y) = \frac{1 + 2 y^2}{4 + y^2}$ avec $y \in J$.