1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.$$ Nous devons : - Montrer que le domaine de définition $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$. - Montrer que $-1$ est une valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$. - Montrer que $f$ est majorée par $1$. - Vérifier si $1$ est une valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$. 2. **Domaine de définition :** Le dénominateur $x^2 + 1$ ne doit pas être nul. $$x^2 + 1 = 0 \iff x^2 = -1,$$ ce qui est impossible car $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, le dénominateur ne s'annule jamais et le domaine est $$\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.$$ 3. **Valeur minimale de $f$ :** On étudie la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$. Posons $t = x^2 \geq 0$, alors $$f(x) = \frac{t - 1}{t + 1}.$$ Étudions la fonction $g(t) = \frac{t - 1}{t + 1}$ pour $t \geq 0$. Calculons la dérivée : $$g'(t) = \frac{(1)(t+1) - (t-1)(1)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - t + 1}{(t+1)^2} = \frac{2}{(t+1)^2} > 0.$$ Donc $g$ est strictement croissante sur $[0, +\infty)$. La valeur minimale de $g$ est atteinte en $t=0$ : $$g(0) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1.$$ Ainsi, $$\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = -1,$$ atteint en $x=0$. 4. **Majoration par 1 :** Puisque $g$ est strictement croissante et $\lim_{t \to +\infty} g(t) = 1$, on a $$f(x) = g(t) < 1 \quad \forall t \geq 0,$$ mais jamais égal à 1 car $$g(t) = 1 \iff \frac{t - 1}{t + 1} = 1 \iff t - 1 = t + 1 \iff -1 = 1,$$ ce qui est impossible. Donc $f$ est strictement majorée par 1, mais 1 n'est pas atteinte. 5. **Valeur maximale :** La fonction $f$ n'atteint pas la valeur 1, donc 1 n'est pas une valeur maximale. **Résumé final :** - Domaine $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$. - Valeur minimale de $f$ est $-1$ atteinte en $x=0$. - $f$ est strictement majorée par 1. - 1 n'est pas une valeur maximale de $f$.