1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} (x+1)e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - 2x + x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 2. **Domaine de définition :** - Pour $x \leq 0$, $f(x)$ est définie pour tout $x$ réel. - Pour $x > 0$, $f(x)$ contient $\ln x$, défini pour $x > 0$. Donc, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ mais ici la fonction est définie en $0$ par la première branche, donc $\text{dom}(f) = \mathbb{R}$. 3. **Continuité en $x=0$ :** - Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = (0+1)e^{0} = 1$$ - Limite à gauche : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1)e^{-x} = 1 \times e^{0} = 1$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 - 2x + x \ln x = 1 - 0 + 0 = 1$$ Les limites à gauche et à droite sont égales à $f(0)$, donc $f$ est continue en $0$. 4. **Dérivabilité en $x=0$ :** - Dérivée à gauche : $$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x+1)e^{-x}] = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = (1 - x - 1)e^{-x} = -x e^{-x}$$ Donc, $$f'(0^-) = -0 \times e^{0} = 0$$ - Dérivée à droite : $$f'(x) = \frac{d}{dx}[1 - 2x + x \ln x] = -2 + \ln x + 1 = \ln x -1$$ Donc, $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x -1) = -\infty$$ Les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. 5. **Demi-tangentes en $(0,1)$ :** - Demi-tangente à gauche a pour pente $0$, donc équation : $$y = 1$$ - Demi-tangente à droite a une pente tendant vers $-\infty$, donc verticale : $$x = 0$$ 6. **Limites aux infinis :** - Pour $x \to -\infty$ : $$f(x) = (x+1)e^{-x} \approx x e^{-x}$$ Or $e^{-x} \to +\infty$ très vite, donc $f(x) \to +\infty$. - Pour $x \to +\infty$ : $$f(x) = 1 - 2x + x \ln x = x(\ln x - 2) + 1$$ Comme $\ln x$ croît moins vite que $x$, $f(x) \to +\infty$. 7. **Dérivée sur chaque intervalle :** - Pour $x \leq 0$ : $$f'(x) = -x e^{-x}$$ - Pour $x > 0$ : $$f'(x) = \ln x - 1$$ 8. **Sens de variation :** - Pour $x \leq 0$, $f'(x) = -x e^{-x}$. Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-x$. Donc $f'(x) > 0$ pour $x < 0$ et $f'(0) = 0$. - Pour $x > 0$, $f'(x) = \ln x - 1$. On a $f'(x) < 0$ pour $x < e$ et $f'(x) > 0$ pour $x > e$. 9. **Tableau de variation :** - $f$ croît sur $]-\infty, 0]$. - $f$ décroît sur $]0, e[$. - $f$ croît sur $]e, +\infty[$. 10. **Intersection avec l'axe des abscisses pour $x \leq 0$ :** Résoudre $f(x) = 0$ avec $x \leq 0$ : $$(x+1)e^{-x} = 0 \implies x = -1$$ Donc le point d'intersection est $(-1, 0)$. 11. **Équation de la tangente en $(-1,0)$ :** Calcul de $f'(-1)$ : $$f'(-1) = -(-1) e^{1} = e$$ Équation de la tangente : $$y = f'(-1)(x + 1) + f(-1) = e(x + 1)$$ 12. **Existence d'une solution unique $\alpha \in ]6,7[$ à $f(x) = 0$ pour $x > 0$ :** - $f(6) = 1 - 12 + 6 \ln 6 > 0$ (car $6 \ln 6$ est grand) - $f(7) = 1 - 14 + 7 \ln 7 < 0$ (car $7 \ln 7$ est moins que 13) Par continuité, il existe une unique solution $\alpha \in ]6,7[$. 13. **Limites de $f(x)/x$ :** - Pour $x \to -\infty$ : $$\frac{f(x)}{x} = \frac{(x+1)e^{-x}}{x} \approx e^{-x} \to +\infty$$ - Pour $x \to +\infty$ : $$\frac{f(x)}{x} = \frac{1 - 2x + x \ln x}{x} = \frac{1}{x} - 2 + \ln x \to +\infty$$ 14. **Interprétation géométrique :** Les limites infinies de $f(x)/x$ indiquent que la courbe n'a pas d'asymptote oblique. 15. **Résumé :** - Domaine : $\mathbb{R}$ - Continuité en 0 : oui - Dérivabilité en 0 : non - Demi-tangentes en $(0,1)$ : horizontale $y=1$ à gauche, verticale $x=0$ à droite - Limites : $f(x) \to +\infty$ aux deux infinis - Variation : croissante sur $]-\infty,0]$, décroissante sur $]0,e[$, croissante sur $]e,+\infty[$ - Intersection avec axe $x$ en $(-1,0)$ - Tangente en $(-1,0)$ : $y = e(x+1)$ - Équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]6,7[$ pour $x>0$.