1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x + 2} & \text{si } x \leq -1 \\ \frac{x^3 + x + 2}{x^2 + 1} & \text{si } x \geq -1 \end{cases}$$ 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :** - Pour $x \leq -1$, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \geq 0$$ - Étudions le signe de $(x+1)(x+2)$ : - Zéros en $x=-2$ et $x=-1$ - Pour $x \leq -2$, $(x+1)<0$ et $(x+2)<0$ donc produit $>0$ - Pour $-2 < x < -1$, $(x+1)<0$ mais $(x+2)>0$ donc produit $<0$ - Pour $x \geq -1$, produit $\geq 0$ - Comme on considère $x \leq -1$, la racine est définie pour $x \leq -2$ et $x = -1$ (car à $-1$ le produit est nul). - Pour $x \geq -1$, le dénominateur $x^2 + 1 > 0$ toujours, donc la fonction est définie pour tout $x \geq -1$. **Donc :** $$D_f = (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)$$ 3. **Écrire $f(x)$ sous forme de valeur absolue pour $x \leq -1$ :** - On a $\sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{(x+1)^2 (x+2)/(x+1)}$ mais mieux vaut factoriser directement : $$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$$ - Pour $x \leq -1$, $x+1 \leq 0$, donc $|x+1| = -(x+1)$ - Pour $x \leq -1$, $x+2 \leq 1$ mais peut être positif ou négatif selon $x$. - Sur $(-\infty, -2]$, $x+2 \leq 0$, donc $|x+2| = -(x+2)$ Ainsi, pour $x \leq -2$ : $$f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{|x+1||x+2|} = |x+1||x+2| = -(x+1)(-(x+2)) = -(x+1)(x+2)$$ mais cela ne correspond pas à la racine carrée, donc on garde la forme : $$f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)} = |x+1| \sqrt{x+2}$$ Pour $x = -1$, $f(-1) = 0$. 4. **Continuité et dérivabilité en $x = -1$ :** - Calculons les limites à gauche et à droite : À gauche ($x \to -1^-$) : $$f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)} \to \sqrt{0 \cdot 1} = 0$$ À droite ($x \to -1^+$) : $$f(x) = \frac{x^3 + x + 2}{x^2 + 1} \to \frac{-1 + (-1) + 2}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$ Donc $f$ est continue en $x = -1$. - Dérivées à gauche : $$f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)}$$ Posons $g(x) = (x+1)(x+2)$, alors $$f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$ avec $$g'(x) = 2x + 3$$ À gauche de $-1$, la dérivée est : $$f'(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x + 3}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}$$ Le dénominateur tend vers 0, donc on étudie la limite : Posons $h = x + 1 \to 0^-$, alors $$f'(-1^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{2(h-1) + 3}{2\sqrt{h(h+1)}} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + 1}{2\sqrt{h(h+1)}}$$ Le dénominateur tend vers 0, le numérateur vers 1. La limite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de la racine, donc la dérivée à gauche n'existe pas finie. - Dérivée à droite : $$f(x) = \frac{x^3 + x + 2}{x^2 + 1}$$ Utilisons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(3x^2 + 1)(x^2 + 1) - (x^3 + x + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Calculons en $x = -1$ : $$f'(-1) = \frac{(3 + 1)(1 + 1) - (-1 + (-1) + 2)(-2)}{(1 + 1)^2} = \frac{4 \times 2 - 0}{4} = 2$$ Donc la dérivée à droite est $2$. **Conclusion :** $f$ est continue en $-1$ mais non dérivable car la dérivée à gauche n'existe pas finie. 5. **Interprétation géométrique :** - La courbe a un point anguleux en $x = -1$. 6. **Dérivabilité en $x = -2$ :** - Pour $x \leq -1$, $f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)}$. - En $x = -2$, $f(-2) = 0$. - Calcul de la dérivée à gauche et à droite de $-2$ : À gauche de $-2$, la fonction n'est pas définie (car $x < -2$ est dans le domaine). À droite de $-2$ (mais $x \leq -1$), on peut calculer la dérivée comme avant. Calculons la dérivée en $x = -2$ : $$f'(-2) = \frac{2(-2) + 3}{2\sqrt{(-2+1)(-2+2)}} = \frac{-4 + 3}{2 \times 0} = \frac{-1}{0}$$ La dérivée tend vers $-\infty$ ou $+\infty$, donc non dérivable en $-2$. 7. **La droite $y = x$ est une asymptote oblique (AO) à la courbe $(t)$ :** - Cette information est donnée, on peut vérifier la limite de $f(x) - x$ en $+\infty$. 8. **Position de $(t)$ par rapport à $(D)$ :** - $(D)$ est la droite $y = x$. - Étudier le signe de $f(x) - x$ pour $x$ grand. 9. **Branche infinie de $(t)$ en $-\infty$ :** - Étudier la limite de $f(x)$ quand $x \to -\infty$. 10. **Position de $(t)$ sur $]-\infty, -2[$ par rapport à $(\Delta)$ :** - $(\Delta)$ est la droite $y = -x - \frac{3}{2}$. - Étudier le signe de $f(x) - (-x - \frac{3}{2})$ sur cet intervalle. 11. **Points d'intersection de $(t)$ avec les axes :** - Axe des ordonnées ($x=0$) : $$f(0) = \frac{0 + 0 + 2}{0 + 1} = 2$$ - Axe des abscisses ($f(x) = 0$) : Pour $x \geq -1$, résoudre $$\frac{x^3 + x + 2}{x^2 + 1} = 0 \Rightarrow x^3 + x + 2 = 0$$ - Pour $x \leq -2$, $f(x) = \sqrt{(x+1)(x+2)} = 0$ si $x = -2$ ou $x = -1$. **Résumé final :** - $D_f = (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)$ - $f$ continue en $-1$, non dérivable en $-1$ et $-2$ - $f(x)$ s'écrit avec valeur absolue pour $x \leq -1$ comme $f(x) = |x+1|\sqrt{x+2}$ - La droite $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$ - Points d'intersection avec axes : $(0,2)$ et $(x,0)$ solutions de $x^3 + x + 2 = 0$