1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $$g(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$$. 2. **Déterminer le domaine de définition (Ds) :** Le dénominateur $$x^2 + 1$$ est toujours strictement positif pour tout $$x \in \mathbb{R}$$. Donc, $$g(x)$$ est définie pour tout réel. **Conclusion :** $$Ds = \mathbb{R}$$. 3. **Montrer que $$g$$ est paire :** Calculons $$g(-x)$$ : $$g(-x) = \frac{|-x|}{(-x)^2 + 1} = \frac{|x|}{x^2 + 1} = g(x)$$. Donc, $$g$$ est une fonction paire. 4. **Montrer la formule donnée (M.Q) :** La formule donnée est : $$T_8 = 1 - \frac{x_1 \cdot p_e}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$$ Cette expression semble être un résultat spécifique lié à un contexte non précisé ici (probablement un terme d'une suite ou une expression liée à $$g$$). Sans plus d'informations sur $$x_1, x_2, p_e$$, on ne peut pas démontrer cette formule. 5. **Étudier les variations sur $$[0,1]$$ et $$[1,+\infty[$ :** Puisque $$g$$ est paire, il suffit d'étudier sur $$[0,+\infty[$. Calculons la dérivée de $$g$$ pour $$x > 0$$ (car $$|x|=x$$ pour $$x \geq 0$$) : $$g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$ Dérivons : $$g'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ - Sur $$[0,1]$$ : $$1 - x^2 \geq 0$$ donc $$g'(x) \geq 0$$, la fonction est croissante. - Sur $$[1,+\infty[$ : $$1 - x^2 < 0$$ donc $$g'(x) < 0$$, la fonction est décroissante. 6. **Tableau de variation sur $$\mathbb{R}$$ :** - $$g$$ est paire donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - $$g$$ est croissante sur $$[0,1]$$ et décroissante sur $$[1,+\infty[$. - Valeurs clés : - $$g(0) = 0$$ - $$g(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ (maximum local/global sur $$[0,+\infty[$) **Résumé du tableau :** $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 0 & 1 & +\infty \\\hline g(x) & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\\text{Variation} & \nearrow & \text{symétrie} & \nearrow & \searrow \\\end{array}$$ **Réponse finale :** - Domaine : $$\mathbb{R}$$ - $$g$$ est paire - $$g$$ croissante sur $$[0,1]$$, décroissante sur $$[1,+\infty[$ - Maximum en $$x=\pm 1$$ avec $$g(\pm 1) = \frac{1}{2}$$.