1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2 - 1$. 2. **Limites de la fonction :** a) Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. On sait que $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x)^2 - 1 = (+\infty)^2 - 1 = +\infty.$$ Graphiquement, cela signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ monte indéfiniment vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Comme $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, on a $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln x)^2 - 1 = +\infty.$$ 3. **Interprétation graphique de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ :** Cela signifie que $f(x)$ croît moins vite que $x$ quand $x$ devient très grand, donc la courbe $(\mathcal{C})$ est asymptotiquement proche de l'axe des abscisses en termes de pente relative à $x$. 4. **Dérivée de $f$ :** a) Montrons que $f'(x) = \frac{2 \ln x}{x}$. Rappel : $f(x) = (\ln x)^2 - 1$. En utilisant la dérivation en chaîne, $$f'(x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}.$$ b) Étude du signe de $f'(x)$ : - Le dénominateur $x > 0$ sur $]0; +\infty[$. - Le signe de $f'(x)$ dépend donc du signe de $\ln x$. On a : - $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ (car $\ln x < 0$). - $f'(x) = 0$ si $x = 1$. - $f'(x) > 0$ si $x > 1$. **Tableau de variations :** \begin{tabular}{c|ccc} $x$ & $0^+$ & 1 & $+\infty$ \\ \hline $f'(x)$ & $-$ & 0 & $+$ \\ $f(x)$ & $+\infty$ & $-1$ & $+\infty$ \\ \end{tabular} 5. **Factorisation et racines :** a) Vérifions que $$f(x) = (\ln x)^2 - 1 = (\ln x - 1)(\ln x + 1).$$ b) Résolvons $f(x) = 0$ sur $]0; +\infty[$ : $$ (\ln x - 1)(\ln x + 1) = 0 \implies \ln x = 1 \text{ ou } \ln x = -1.$$ Donc, $$x = e \quad \text{ou} \quad x = e^{-1}.$$ Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont donc $$A(e^{-1}, 0) \quad \text{et} \quad B(e, 0),$$ avec $x_a = e^{-1} < x_b = e$. 6. **Point d'inflexion et tangente en $B$ :** a) Montrons que $B$ est un point d'inflexion. Calculons la dérivée seconde : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 \ln x}{x} \right) = 2 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = 2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}.$$ En $x = e$, on a $$f''(e) = 2 \cdot \frac{1 - 1}{e^2} = 0,$$ et le changement de signe de $f''(x)$ autour de $e$ montre que $B$ est un point d'inflexion. b) Équation de la tangente $(T)$ en $B$ : La pente est $$f'(e) = \frac{2 \ln e}{e} = \frac{2 \cdot 1}{e} = \frac{2}{e}.$$ L'équation de la tangente au point $B(e, 0)$ est $$y = f'(e)(x - e) + f(e) = \frac{2}{e}(x - e) + 0 = \frac{2}{e} x - 2.$$