1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = x - 2 + \frac{1}{x}.$$ Nous devons : - Déterminer l'ensemble de définition de $f$. - Calculer les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble. - Montrer que $$f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$ - Étudier le signe de $f'(x)$ selon $x$. - En déduire le sens de variation de $f$. - Dresser le tableau de variation et déterminer les extrêmes relatifs. 2. **Détermination de l'ensemble de définition :** La fonction $f(x) = x - 2 + \frac{1}{x}$ est définie pour tout réel $x$ sauf $x=0$ où la division par zéro n'est pas définie. Donc, $$\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}.$$ 3. **Calcul des limites aux bornes de $\, \mathcal{D}_f$ :** - Lorsque $x \to 0^+$ : $$f(x) = x - 2 + \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x} \to +\infty.$$ - Lorsque $x \to 0^-$ : $$f(x) = x - 2 + \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x} \to -\infty.$$ - Lorsque $x \to +\infty$ : $$f(x) = x - 2 + \frac{1}{x} \sim x \to +\infty.$$ - Lorsque $x \to -\infty$ : $$f(x) = x - 2 + \frac{1}{x} \sim x \to -\infty.$$ 4. **Démonstration de la formule de la dérivée :** Utilisons la dérivation terme à terme : $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x - 2 + \frac{1}{x}\right) = 1 + 0 - \frac{1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2}.$$ Mettons sous forme d'une seule fraction : $$f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$ Ceci montre la formule demandée. 5. **Étude du signe de $f'(x)$ :** - Le dénominateur $x^2$ est toujours positif sauf en $x=0$ où $f$ n'est pas défini. - Le signe de $f'(x)$ dépend donc du signe du numérateur $(x-1)(x+1)$. - Zéros du numérateur : $x=1$ et $x=-1$. Analyse du signe : | Intervalle | $x<-1$ | $-11$ | |--------------------|---------|----------|-------| | $(x-1)(x+1)$ | $+$ | $-$ | $+$ | | $f'(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ | 6. **Sens de variation de $f$ :** - Sur $(-\infty, -1)$ : $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. - Sur $(-1,1)$ : $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. - Sur $(1, +\infty)$ : $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. 7. **Tableau de variation et extrêmes relatifs :** Calculons les valeurs de $f$ en $x = -1$ et $x=1$ : - $$f(-1) = -1 - 2 + \frac{1}{-1} = -1 - 2 - 1 = -4.$$ (maximum local car $f'$ passe de + à -) - $$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0.$$ (minimum local car $f'$ passe de - à +) \begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & & -1 & & 0^- \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ f(x) & -\infty & \nearrow & -4 & \searrow & -\infty \\ \hline x & 0^+ & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ f(x) & +\infty & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array} **Réponse finale :** - Ensemble de définition : $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - Limites : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. - Dérivée : $f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$. - Signe de $f'(x)$ et sens de variation déterminés. - Maximum local en $x=-1$ avec $f(-1)=-4$. - Minimum local en $x=1$ avec $f(1) = 0$.