1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $]-1; +\infty[$ par $$f(x) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1 + x}}$$ et analyser ses limites, dérivées, variations, tangente, concavité, et suite associée. 2. **Calcul des limites :** - Pour $x \to -1^+$, le dénominateur $\sqrt{1+x} \to 0^+$, le numérateur $x \sqrt{2} \to -1 \times \sqrt{2} = -\sqrt{2}$. Donc $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} = -\infty.$$ - Pour $x \to +\infty$, on écrit $$f(x) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} = \sqrt{2} \times \frac{x}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{2} \times \frac{x}{\sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Branches infinies :** - À gauche, $x \to -1^+$, $f(x) \to -\infty$ donc une branche verticale infinie en $x = -1$. - À droite, $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ sans asymptote horizontale. 4. **Dérivée de $f$ :** Montrons que $$f'(x) = \frac{\sqrt{2} (x + 2)}{2 \sqrt{(1 + x)^3}}.$$ En posant $f(x) = x \sqrt{2} (1+x)^{-1/2}$, on dérive par produit : $$f'(x) = \sqrt{2} \left( (1+x)^{-1/2} + x \times \left(-\frac{1}{2}\right)(1+x)^{-3/2} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x}} - \frac{x}{2 (1+x)^{3/2}} \right).$$ Mettons au même dénominateur : $$f'(x) = \sqrt{2} \frac{2(1+x) - x}{2 (1+x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2} (x + 2)}{2 \sqrt{(1+x)^3}}.$$ 5. **Tableau de variations :** - Le dénominateur est toujours positif sur $]-1; +\infty[$. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $x+2$. - $f'(x) > 0$ pour $x > -2$, mais $x > -1$ dans le domaine, donc $f'(x) > 0$ sur tout $]-1; +\infty[$. - Donc $f$ est strictement croissante sur son domaine. 6. **Image de $[0;1]$ :** - Calculons $f(0) = 0$. - Calculons $f(1) = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$. - Comme $f$ est croissante, $f([0;1]) = [0;1]$. 7. **Relation entre $f(x)$ et $x$ :** Montrons que $$f(x) - x = \frac{x(1 - x)}{\sqrt{1 + x} (\sqrt{2} + \sqrt{1 + x})}.$$ En posant $f(x) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1+x}}$, on écrit $$f(x) - x = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} - x = x \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} - 1 \right) = x \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}.$$ En multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{2} + \sqrt{1+x}$, on obtient $$f(x) - x = \frac{x (\sqrt{2} - \sqrt{1+x})(\sqrt{2} + \sqrt{1+x})}{\sqrt{1+x} (\sqrt{2} + \sqrt{1+x})} = \frac{x (2 - (1+x))}{\sqrt{1+x} (\sqrt{2} + \sqrt{1+x})} = \frac{x (1 - x)}{\sqrt{1+x} (\sqrt{2} + \sqrt{1+x})}.$$ Ainsi, pour $x \in ]-1; +\infty[$ : - Si $x \in ]0;1[$, $f(x) - x > 0$ donc $f(x) > x$. - Si $x > 1$, $f(x) - x < 0$ donc $f(x) < x$. 8. **Tangente en $x=0$ :** - $f(0) = 0$. - $f'(0) = \frac{\sqrt{2} (0 + 2)}{2 \sqrt{(1+0)^3}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. - Équation de la tangente : $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = \sqrt{2} x.$$ 9. **Dérivée seconde et concavité sur $]1; +\infty[$ :** - $f'(x) = \frac{\sqrt{2} (x+2)}{2 (1+x)^{3/2}}$. - Dérivons $f'(x)$ : $$f''(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{(1+x)^{3/2} - (x+2) \times \frac{3}{2} (1+x)^{1/2}}{(1+x)^3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{(1+x) - \frac{3}{2} (x+2)}{(1+x)^{5/2}}.$$ Simplifions le numérateur : $$(1+x) - \frac{3}{2} (x+2) = 1 + x - \frac{3}{2} x - 3 = -2 - \frac{1}{2} x = -\frac{1}{2} (x + 4).$$ Donc $$f''(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{-\frac{1}{2} (x + 4)}{(1+x)^{5/2}} = -\frac{\sqrt{2} (x + 4)}{4 (1+x)^{5/2}}.$$ Sur $]1; +\infty[$, $x+4 > 0$ et $(1+x)^{5/2} > 0$, donc $f''(x) < 0$. La courbe est donc concave sur $]1; +\infty[$. 10. **Conclusion :** - $f$ est strictement croissante sur $]-1; +\infty[$. - $f$ tend vers $-\infty$ en $-1^+$ et vers $+\infty$ en $+\infty$. - La tangente en $0$ est $y = \sqrt{2} x$. - La courbe est concave sur $]1; +\infty[$.