1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}).$$ **Partie A** 1) a) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 2) b) Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$. 3) c) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[0; +\infty[$. 4) 2) Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$, opposées. --- 1) a) Calcul de la limite en $+\infty$ : $$f(x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}).$$ Quand $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$ et $e^{-x} \to 0$. Donc, $$f(x) \sim \frac{7}{2} - \frac{1}{2} \times (+\infty) = -\infty.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.$$ 2) b) Montrons que $f$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$. Calculons la dérivée : $$f'(x) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}).$$ Pour $x \geq 0$, on a $e^x \geq 1$ et $e^{-x} \leq 1$, donc $e^x - e^{-x} \geq 0$. Ainsi, $$f'(x) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) \leq 0,$$ avec égalité seulement en $x=0$. Donc $f$ est décroissante sur $[0; +\infty[$. 3) c) Montrons que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[0; +\infty[$. Étudions les valeurs aux bornes : - $f(0) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(1 + 1) = \frac{7}{2} - 1 = \frac{5}{2} > 0$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty < 0$. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[0; +\infty[$, elle passe donc de positif à négatif. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $a$ telle que $f(a) = 0$ avec $a \in [0; +\infty[$. 4) 2) Justification que $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions opposées dans $\mathbb{R}$. On remarque que pour tout réel $x$ : $$f(-x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^{-x} + e^x) = f(x).$$ Donc $f$ est une fonction paire. Si $a$ est la solution positive de $f(x) = 0$, alors $-a$ est aussi solution car $$f(-a) = f(a) = 0.$$ Ainsi, l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$, qui sont opposées : $-a$ et $a$. --- **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. - $f$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$. - L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[0; +\infty[$. - L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$, opposées $-a$ et $a$.