1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x^2 + \sqrt{x} - 3.$$ 2. **Continuité de $f$ sur $[0; +\infty[$ :** - La fonction $x \mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$. - La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0; +\infty[$. - La somme de fonctions continues est continue. **Conclusion :** $f$ est continue sur $[0; +\infty[$. 3. **Dérivabilité en 0 et interprétation graphique :** - Pour $x > 0$, $f$ est dérivable car $x^2$ et $\sqrt{x}$ le sont sur $]0; +\infty[$. - Calcul de la dérivée à droite en 0 : $$f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 + \sqrt{h} - 3 - (-3)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 + \sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h + \frac{1}{\sqrt{h}}).$$ - Ce dernier terme tend vers $+\infty$, donc $f$ n'est pas dérivable en 0. **Interprétation graphique :** La pente de la tangente à la courbe en 0 est infinie, la courbe a un angle vertical en 0. 4. **Calcul de $f'(x)$ pour $x > 0$ et étude de la monotonie :** - Dérivée : $$f'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$ - Pour $x > 0$, $2x > 0$ et $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$, donc $f'(x) > 0$. **Conclusion :** $f$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. 5. **Étude des racines de $f$ sur $]1; 2[$ :** - Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = 1^2 + \sqrt{1} - 3 = 1 + 1 - 3 = -1 < 0.$$ - Calcul de $f(2)$ : $$f(2) = 2^2 + \sqrt{2} - 3 = 4 + 1.4142 - 3 = 2.4142 > 0.$$ - Par continuité et théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $c \in ]1; 2[$ tel que $f(c) = 0$. 6. **Signe de $f(x)$ sur $[0; +\infty[$ :** - $f(0) = 0 + 0 - 3 = -3 < 0$. - $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$. - $f$ s'annule une seule fois en $c \in ]1; 2[$. **Conclusion :** $f(x) < 0$ pour $x \in [0; c[$ et $f(x) > 0$ pour $x \in ]c; +\infty[$. 7. **Existence de la fonction réciproque $f^{-1}$ :** - $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$, donc injective. - L'image de $f$ est $[f(0), +\infty[ = [-3, +\infty[$. **Conclusion :** $f^{-1}$ existe et est définie sur $J = [-3, +\infty[$. 8. **Comparaison de $f^{-1}(2)$ et $f^{-1}(6)$ :** - Comme $f$ est strictement croissante, $f^{-1}$ l'est aussi. - $2 < 6$ donc $f^{-1}(2) < f^{-1}(6)$. 9. **Construction graphique de $f^{-1}$ :** - La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y = x$. - Pour chaque point $(x, y)$ sur la courbe de $f$, le point $(y, x)$ est sur la courbe de $f^{-1}$. **Résumé :** - $f$ continue sur $[0; +\infty[$. - $f$ non dérivable en 0 avec pente infinie. - $f$ strictement croissante sur $[0; +\infty[$. - $f$ s'annule une fois dans $]1; 2[$. - $f^{-1}$ existe sur $[-3, +\infty[$. - $f^{-1}(2) < f^{-1}(6)$. - Courbe de $f^{-1}$ symétrique de celle de $f$ par rapport à $y=x$. **Fin de la résolution.**