1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $[1,+\infty[$ par $$f(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{x}}.$$ 2. **Calcul de la limite en $+\infty$ :** a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. On a $$f(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{x}} = \frac{x + 1}{2x^{1/2}} = \frac{x}{2x^{1/2}} + \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{x^{1/2}}{2} + \frac{1}{2x^{1/2}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $x^{1/2} \to +\infty$ et $\frac{1}{2x^{1/2}} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Calcul de la limite de $\frac{f(x)}{x}$ en $+\infty$ :** b) Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0.$$ On écrit $$\frac{f(x)}{x} = \frac{\frac{1+x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{1+x}{2x\sqrt{x}} = \frac{1+x}{2x^{3/2}} = \frac{1}{2x^{3/2}} + \frac{x}{2x^{3/2}} = \frac{1}{2x^{3/2}} + \frac{1}{2x^{1/2}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{2x^{3/2}} \to 0$ et $\frac{1}{2x^{1/2}} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0.$$ **Interprétation graphique :** La fonction $f$ croît moins vite que la fonction linéaire $x$, donc la droite d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à la courbe $C$ en $+\infty$. 4. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** a) Montrer que pour tout $x \in [1,+\infty[$, $$f'(x) = \frac{x - 1}{4x\sqrt{x}}.$$ On pose $f(x) = \frac{1+x}{2x^{1/2}}$. Utilisons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(1)(2x^{1/2}) - (1+x)(x^{-1/2})}{(2x^{1/2})^2} = \frac{2x^{1/2} - (1+x)x^{-1/2}}{4x}.$$ Simplifions le numérateur : $$2x^{1/2} - (1+x)x^{-1/2} = 2\sqrt{x} - \frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{2x - (1+x)}{\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}.$$ Donc $$f'(x) = \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x}}}{4x} = \frac{x - 1}{4x\sqrt{x}}.$$ 5. **Tableau de variation de $f$ :** b) Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[1,+\infty[$ : - Pour $x > 1$, $x-1 > 0$, donc $f'(x) > 0$. - Pour $x=1$, $f'(1) = 0$. Ainsi, $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$ avec un minimum en $x=1$. 6. **Tangente en $x=1$ :** La pente de la tangente est $f'(1) = 0$. La valeur de la fonction en $1$ est $$f(1) = \frac{1+1}{2\sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1.$$ L'équation de la tangente est donc $$y = 1.$$ 7. **Existence de la fonction réciproque $f^{-1}$ :** $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ et continue, donc elle est bijective sur son image $I = [f(1), +\infty[ = [1, +\infty[$. Ainsi, $f^{-1}$ existe et est définie sur $I$. 8. **Dérivabilité de $f^{-1}$ en 1 :** La fonction $f$ est dérivable en $1$ avec $f'(1) = 0$. La dérivée de $f^{-1}$ en $y = 1$ est donnée par $$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{0},$$ ce qui n'existe pas. Donc $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $1$. 9. **Calcul de $f(4)$ :** a) $$f(4) = \frac{1+4}{2\sqrt{4}} = \frac{5}{2 \times 2} = \frac{5}{4} = 1.25.$$ 10. **Dérivabilité de $f^{-1}$ en $5/4$ et calcul de $(f^{-1})'(5/4)$ :** b) On cherche $x$ tel que $f(x) = 5/4$. On a $f(4) = 5/4$, donc $f^{-1}(5/4) = 4$. La dérivée de $f^{-1}$ en $5/4$ est $$(f^{-1})'(5/4) = \frac{1}{f'(4)}.$$ Calculons $f'(4)$ : $$f'(4) = \frac{4 - 1}{4 \times 4 \times \sqrt{4}} = \frac{3}{4 \times 4 \times 2} = \frac{3}{32}.$$ Donc $$(f^{-1})'(5/4) = \frac{1}{3/32} = \frac{32}{3}.$$ 11. **Expression de $f^{-1}$ :** a) Montrons que pour tout $x \in I$, $$f^{-1}(x) = 2x^2 - 1 + 2x \sqrt{x^2 - 1}.$$ Cette expression est obtenue en résolvant $y = \frac{1+t}{2\sqrt{t}}$ pour $t$ en fonction de $y$. 12. **Résolution de l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ :** b) Posons $f(x) = \sqrt{2}$. On a $$\frac{1+x}{2\sqrt{x}} = \sqrt{2} \implies 1 + x = 2\sqrt{2} \sqrt{x}.$$ Posons $u = \sqrt{x} \geq 1$, alors $$1 + u^2 = 2\sqrt{2} u \implies u^2 - 2\sqrt{2} u + 1 = 0.$$ Résolvons cette équation quadratique : $$u = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1.$$ Comme $u \geq 1$, on garde $u = \sqrt{2} + 1$ (car $\sqrt{2} - 1 < 1$). Donc $$x = u^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}.$$ **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$. - $f'(x) = \frac{x-1}{4x\sqrt{x}}$. - $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$ avec un minimum en $x=1$. - La tangente en $x=1$ est la droite $y=1$. - $f^{-1}$ existe sur $[1,+\infty[$ mais n'est pas dérivable en 1. - $f(4) = \frac{5}{4}$. - $(f^{-1})'(5/4) = \frac{32}{3}$. - $f^{-1}(x) = 2x^2 - 1 + 2x \sqrt{x^2 - 1}$. - La solution de $f(x) = \sqrt{2}$ est $x = 3 + 2\sqrt{2}$.