1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = x + \sqrt{|4x^2 - 1|}.$$ Nous devons vérifier la continuité, la dérivabilité en $x = -\frac{1}{2}$ et $x = \frac{1}{2}$, calculer la dérivée $f'$, étudier son signe, puis tracer la courbe représentative. 2. **Continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$ :** - La fonction $x \mapsto x$ est continue partout. - La fonction $x \mapsto \sqrt{|4x^2 - 1|}$ est continue partout car la valeur absolue et la racine carrée sont continues sur leur domaine. - Ainsi, $f$ est somme de fonctions continues, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. 3. **Dérivabilité en $x = -\frac{1}{2}$ et $x = \frac{1}{2}$ :** - Le point critique est où l'expression sous la racine change de signe, c'est-à-dire $4x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$. - Pour $|x| > \frac{1}{2}$, $4x^2 - 1 > 0$, donc $f(x) = x + \sqrt{4x^2 - 1}$. - Pour $|x| < \frac{1}{2}$, $4x^2 - 1 < 0$, donc $f(x) = x + \sqrt{1 - 4x^2}$. Calculons la dérivée à gauche et à droite de $x = \frac{1}{2}$ : - Pour $x > \frac{1}{2}$, $$f(x) = x + \sqrt{4x^2 - 1}$$ $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - 1}} \cdot 8x = 1 + \frac{4x}{\sqrt{4x^2 - 1}}$$ - Pour $x < \frac{1}{2}$, $$f(x) = x + \sqrt{1 - 4x^2}$$ $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1 - 4x^2}} \cdot (-8x) = 1 - \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$ Calculons les limites de $f'(x)$ en $x = \frac{1}{2}$ : - À droite : $$f'\left(\frac{1}{2}^+\right) = 1 + \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1}} = 1 + \frac{2}{0^+} = +\infty$$ - À gauche : $$f'\left(\frac{1}{2}^-\right) = 1 - \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = 1 - \frac{2}{0^+} = -\infty$$ Les dérivées latérales ne coïncident pas, donc $f$ n'est pas dérivable en $x = \frac{1}{2}$. Par symétrie, même raisonnement pour $x = -\frac{1}{2}$, donc $f$ n'est pas dérivable en $x = -\frac{1}{2}$. 4. **Calcul de la dérivée $f'$ sur les intervalles :** - Pour $|x| > \frac{1}{2}$, $$f'(x) = 1 + \frac{4x}{\sqrt{4x^2 - 1}}$$ - Pour $|x| < \frac{1}{2}$, $$f'(x) = 1 - \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$ 5. **Étude du signe de $f'$ :** - Sur $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$ : - $x < -\frac{1}{2} < 0$, $4x < 0$, racine positive, donc $\frac{4x}{\sqrt{4x^2 - 1}} < 0$. - Donc $f'(x) = 1 +$ (négatif) : à étudier précisément. - Sur $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ : - Étudions le signe de $$f'(x) = 1 - \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$ - Pour $x > 0$, $\frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^2}} > 0$, donc $f'(x) < 1$. - Pour $x < 0$, $\frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^2}} < 0$, donc $f'(x) > 1$. - Sur $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ : - $x > 0$, $\frac{4x}{\sqrt{4x^2 - 1}} > 0$, donc $f'(x) > 1$. 6. **Inéquation donnée :** On peut montrer que $$\sqrt{1 - 4x^2} - 4x > 0 \quad \text{pour} \quad x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{5}}\right].$$ 7. **Tracé de la courbe $C_f$ :** - $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. - $f$ n'est pas dérivable en $x = \pm \frac{1}{2}$. - $f$ est croissante sur $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ et décroissante sur $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$ selon le signe de $f'$. - Sur $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, le comportement est plus complexe, mais $f'$ varie selon le signe de $x$. --- **Exercice 2 :** 1. **Étude de la fonction $h : ]0, \frac{\pi}{2}[ \to \mathbb{R}$ définie par** $$h(x) = \frac{1}{\cos x}.$$ - $\cos x$ est strictement décroissante sur $]0, \frac{\pi}{2}[$ de 1 à 0. - Donc $h(x) = \sec x$ est strictement croissante sur $]0, \frac{\pi}{2}[$ de 1 à $+\infty$. - Ainsi, $h$ est bijection de $]0, \frac{\pi}{2}[$ sur $]1, +\infty[$. 2. **Dérivabilité de $h^{-1}$ et formule de la dérivée :** - $h$ est bijection strictement monotone, donc $h^{-1}$ existe et est dérivable sur $]1, +\infty[$. - Par la formule de dérivation des fonctions inverses : $$\left(h^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{h'\left(h^{-1}(y)\right)}.$$ - Calculons $h'(x)$ : $$h'(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x \sec x.$$ - En posant $y = h(x) = \sec x$, on a $\cos x = \frac{1}{y}$ et $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{1}{y^2}} = \frac{\sqrt{y^2 - 1}}{y}$. - Donc $$h'(x) = \tan x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\frac{\sqrt{y^2 - 1}}{y}}{\frac{1}{y^2}} = y \sqrt{y^2 - 1}.$$ - Ainsi, $$\left(h^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{y \sqrt{y^2 - 1}}.$$