1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$. 2. **Détermination de $D_f$ :** La fonction $f$ contient $\sqrt{x}$, donc $x \geq 0$. Ainsi, $D_f = [0, +\infty[$. 3. **Limites à l'infini :** (a) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$$ Quand $x \to +\infty$, $x$ domine, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ (b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 2}{x} = 1 - 2\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{2}{x} = 1 - 2\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x}$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ et $\frac{2}{x} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$$ Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ : $$f(x) - x = x - 2\sqrt{x} + 2 - x = -2\sqrt{x} + 2$$ Quand $x \to +\infty$, $-2\sqrt{x} \to -\infty$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty$$ (c) **Branches infinies :** La courbe $(C_f)$ a une branche infinie asymptote à la droite $y = x$ car $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$$ et $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty$$ indiquant que la courbe s'écarte vers $-\infty$ sous la droite $y=x$. 4. **Dérivabilité en 0 à droite :** (a) Calcul de $f'(x)$ pour $x > 0$ : $$f'(x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$$ Calcul de la dérivée à droite en 0 : $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ Or $f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$, et $$f(h) = h - 2\sqrt{h} + 2$$ Donc $$\frac{f(h) - 2}{h} = \frac{h - 2\sqrt{h} + 2 - 2}{h} = \frac{h - 2\sqrt{h}}{h} = 1 - 2\frac{\sqrt{h}}{h} = 1 - 2\frac{1}{\sqrt{h}}$$ Quand $h \to 0^+$, $\frac{1}{\sqrt{h}} \to +\infty$, donc $$f'_+(0) = -\infty$$ La dérivée à droite en 0 n'existe pas (tend vers $-\infty$). (b) **Interprétation graphique :** La tangente en 0 est verticale descendante à droite. 5. **Variations de $f$ :** (a) Montrons que $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$$ (b) Étudions le signe de $f'(x)$ : - Pour $x > 0$, $\sqrt{x} > 0$. - $f'(x) > 0$ si $\sqrt{x} - 1 > 0 \iff x > 1$. - $f'(x) = 0$ si $x = 1$. - $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$. Donc $f$ décroît sur $]0,1[$ et croît sur $]1, +\infty[$. Tableau de variations : \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & +\infty \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline f(x) & f(0)=2 & f(1)=1 & +\infty \\\end{array} 6. **Étude de $f(x) - x$ :** (a) Montrons que $$f(x) - x = 2(1 - \sqrt{x})$$ En effet, $$f(x) - x = x - 2\sqrt{x} + 2 - x = 2 - 2\sqrt{x} = 2(1 - \sqrt{x})$$ (b) Position relative de $(C_f)$ et de la droite $y = x$ : - Si $x < 1$, $\sqrt{x} < 1$ donc $f(x) - x > 0$ donc $f(x) > x$. - Si $x = 1$, $f(1) = 1$. - Si $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ donc $f(x) - x < 0$ donc $f(x) < x$. 7. **Équation de la tangente en $x=4$ :** Calcul de $f(4)$ : $$f(4) = 4 - 2\sqrt{4} + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$$ Calcul de $f'(4)$ : $$f'(4) = \frac{\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4}} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$$ Équation de la tangente $T$ en $x=4$ : $$y = f'(4)(x - 4) + f(4) = \frac{1}{2}(x - 4) + 2 = \frac{1}{2}x - 2 + 2 = \frac{1}{2}x$$ 8. **Suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = f(U_n)$ :** (a) Montrons que $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n$ : - $U_0 = 2$. - Supposons $1 \leq U_n \leq 2$. - Comme $f$ est décroissante sur $[1, +\infty[$ et $f(1) = 1$, $f(2) = 2 - 2\sqrt{2} + 2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17$. - Donc $f(U_n) \in [1, 2]$. - Par récurrence, $1 \leq U_n \leq 2$. (b) Montrons que $(U_n)$ est décroissante : - $f$ est décroissante sur $[1,2]$. - $U_0 = 2$, $U_1 = f(2) \approx 1.17 < 2$. - Supposons $U_n \geq U_{n+1}$. - Comme $f$ décroît, $U_{n+1} = f(U_n) \leq f(U_{n-1}) = U_n$. - Donc $(U_n)$ est décroissante. (c) $(U_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} U_n$. En passant à la limite dans $U_{n+1} = f(U_n)$ : $$\ell = f(\ell) = \ell - 2\sqrt{\ell} + 2$$ Donc $$0 = -2\sqrt{\ell} + 2 \Rightarrow 2\sqrt{\ell} = 2 \Rightarrow \sqrt{\ell} = 1 \Rightarrow \ell = 1$$ **Réponse finale :** - $D_f = [0, +\infty[$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ - $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty$ - $f$ décroît sur $]0,1[$, croît sur $]1, +\infty[$ - $f'_+(0) = -\infty$ (dérivée à droite non définie) - Tangente en $x=4$ : $y = \frac{1}{2}x$ - La suite $(U_n)$ converge vers 1.