1. Énonçons le problème : on cherche à comprendre pourquoi on définit la fonction $f(x) = (e^x - 1) \ln(e^x - 1)$.\n\n2. Cette fonction combine une expression exponentielle $e^x - 1$ et son logarithme naturel $\ln(e^x - 1)$.\n\n3. Rappel important : le logarithme naturel $\ln(y)$ est défini uniquement pour $y > 0$. Ici, $e^x - 1 > 0$ lorsque $x > 0$, donc le domaine de $f$ est $x > 0$.\n\n4. La fonction $f(x)$ est souvent étudiée en analyse pour ses propriétés de croissance, convexité, ou dans des contextes où on multiplie une quantité par son logarithme, ce qui apparaît dans des problèmes d'entropie ou d'information.\n\n5. La définition $f(x) = (e^x - 1) \ln(e^x - 1)$ permet d'explorer le comportement combiné de la croissance exponentielle et de la croissance logarithmique, utile pour modéliser certaines relations non linéaires.\n\n6. En résumé, on fait cette définition pour étudier une fonction qui combine ces deux comportements mathématiques, avec un domaine naturel $x > 0$ pour que l'expression soit définie.