1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} (x+1)e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - 2x + x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 2. **Domaine de définition** : - Pour $x \leq 0$, $f$ est définie partout. - Pour $x > 0$, $f(x)$ contient $\ln x$, défini pour $x > 0$. Donc, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}^* = ]-\infty,0] \cup ]0,+\infty[$. 3. **Continuité en $x=0$** : - Calcul de $f(0)$ : $f(0) = (0+1)e^{0} = 1$. - Limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1)e^{-x} = 1 \cdot e^{0} = 1$. - Limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 - 2x + x \ln x = 1 - 0 + 0 = 1$ (car $x \ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$). Donc, $f$ est continue en $x=0$. 4. **Dérivabilité en $x=0$** : - Dérivée à gauche : $f'(x) = \frac{d}{dx}[(x+1)e^{-x}] = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = (1 - x -1)e^{-x} = -x e^{-x}$. - Donc, $f'(0^-) = -0 \cdot e^{0} = 0$. - Dérivée à droite : $f'(x) = \frac{d}{dx}[1 - 2x + x \ln x] = -2 + \ln x + 1 = \ln x -1$. - Limite à droite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x -1) = -\infty$. Donc, $f$ n'est pas dérivable en $x=0$. La courbe admet deux demi-tangentes en $(0,1)$ : - Tangente à gauche de pente $0$ (horizontale). - Tangente à droite verticale (car pente tend vers $-\infty$). 5. **Limites aux infinis** : - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x+1)e^{-x}$. Comme $e^{-x} = e^{|x|}$ croît très vite, $f(x) \to +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 1 - 2x + x \ln x$. Le terme dominant est $x \ln x$ qui tend vers $+\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. 6. **Dérivée sur chaque intervalle** : - Pour $x \leq 0$, $f'(x) = -x e^{-x}$. - Pour $x > 0$, $f'(x) = \ln x - 1$. 7. **Sens de variation** : - Sur $]-\infty,0]$, $f'(x) = -x e^{-x}$. Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-x$. - Donc, $f'(x) > 0$ pour $x < 0$, $f'(0) = 0$. - $f$ est croissante sur $]-\infty,0]$. - Sur $]0,+\infty[$, $f'(x) = \ln x -1$. - $f'(x) = 0$ pour $x = e$. - Pour $x < e$, $f'(x) < 0$, décroissante. - Pour $x > e$, $f'(x) > 0$, croissante. 8. **Intersection avec l'axe des abscisses pour $x \leq 0$** : - Résoudre $f(x) = 0$ soit $(x+1)e^{-x} = 0$. - $e^{-x} \neq 0$, donc $x+1=0 \Rightarrow x = -1$. - Coordonnées : $(-1,0)$. 9. **Équation de la tangente en $(-1,0)$** : - $f'(-1) = -(-1) e^{1} = e$. - Équation : $y = f'(-1)(x + 1) + f(-1) = e(x + 1)$. 10. **Existence d'une solution unique $\alpha \in ]6,7[$ à $f(x) = 0$** : - Pour $x > 0$, $f(x) = 1 - 2x + x \ln x$. - Calculer $f(6)$ et $f(7)$ : - $f(6) = 1 - 12 + 6 \ln 6$. - $f(7) = 1 - 14 + 7 \ln 7$. - Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[e,+\infty[$, et $f(6) < 0 < f(7)$, il existe une unique solution $\alpha \in ]6,7[$. 11. **Limites de $f(x)/x$** : - Pour $x \to -\infty$, $f(x)/x = \frac{(x+1)e^{-x}}{x} = e^{-x} \frac{x+1}{x} \to +\infty$. - Pour $x \to +\infty$, $f(x)/x = \frac{1 - 2x + x \ln x}{x} = \frac{1}{x} - 2 + \ln x \to +\infty$. 12. **Interprétation géométrique** : - Les limites infinies de $f(x)/x$ indiquent que la courbe n'a pas d'asymptote oblique.