1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$ par $$f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x}$$ avec $a,b,c \in \mathbb{R}$. Le graphe $(C_f)$ coupe l'axe des ordonnées en $x=1$. On note $(C_{f'})$ le graphe de la dérivée $f'$. 2. Montrer que $f'$ est une fonction paire : - Calculons $f'(x)$ en utilisant la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(2ax + b) x - (ax^2 + bx + c)}{x^2} = \frac{2ax^2 + bx - ax^2 - bx - c}{x^2} = \frac{ax^2 - c}{x^2} = a - \frac{c}{x^2}$$ - Or, $f'(-x) = a - \frac{c}{(-x)^2} = a - \frac{c}{x^2} = f'(x)$. Donc $f'$ est paire. 3. Limites et rapports de dérivées : (a) Calcul de $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h - \frac{1}{2}) - f(-\frac{1}{2})}{h}$$ - Cette limite est la définition de la dérivée de $f$ en $x = -\frac{1}{2}$. - Donc $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h - \frac{1}{2}) - f(-\frac{1}{2})}{h} = f'(-\frac{1}{2}) = a - \frac{c}{( -\frac{1}{2})^2} = a - 4c$$ - Par symétrie de $f'$, on a $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h + \frac{1}{2}) - f(\frac{1}{2})}{h} = f'(\frac{1}{2}) = a - 4c$$ (b) Étudier le signe de $$\lim_{h \to 0} \frac{f'(\frac{3}{2}) - f'(\frac{3}{2} + h)}{h}$$ - Cette limite est la dérivée de $f'$ en $x=\frac{3}{2}$ prise avec un signe négatif : $$\lim_{h \to 0} \frac{f'(x) - f'(x+h)}{h} = -f''(x)$$ - Calculons $f''(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(a - \frac{c}{x^2}\right) = 0 - c \cdot \frac{d}{dx} (x^{-2}) = -c (-2) x^{-3} = \frac{2c}{x^3}$$ - Donc $$\lim_{h \to 0} \frac{f'(\frac{3}{2}) - f'(\frac{3}{2} + h)}{h} = -f''(\frac{3}{2}) = - \frac{2c}{(\frac{3}{2})^3} = - \frac{2c}{\frac{27}{8}} = - \frac{16c}{27}$$ - Le signe dépend de $c$ : - Si $c > 0$, limite négative. - Si $c < 0$, limite positive. (c) Discussion du nombre de solutions de $$f'(x) = 1 - t^2$$ - On a $$f'(x) = a - \frac{c}{x^2} = 1 - t^2$$ - Réarrangeons : $$\frac{c}{x^2} = a - (1 - t^2) = a - 1 + t^2$$ - Donc $$x^2 = \frac{c}{a - 1 + t^2}$$ - Le nombre de solutions dépend du signe de $\frac{c}{a - 1 + t^2}$ : - Si positif, deux solutions $x = \pm \sqrt{\frac{c}{a - 1 + t^2}}$. - Si nul, une solution $x=0$ (hors domaine car $x \neq 0$). - Si négatif, aucune solution. 4. Trouver $f$ sachant que $x=-1$ est un extremum local : - $f'(-1) = 0$ donc $$a - \frac{c}{(-1)^2} = a - c = 0 \Rightarrow a = c$$ II. Cas $a = -1, b = 2, c = -1$ : 1. Étudier le sens de variation de $f$ : - $f'(x) = a - \frac{c}{x^2} = -1 - \frac{-1}{x^2} = -1 + \frac{1}{x^2} = \frac{1 - x^2}{x^2}$ - Le signe de $f'(x)$ dépend de $1 - x^2$ : - $f'(x) > 0$ si $|x| < 1$. - $f'(x) < 0$ si $|x| > 1$. - Donc $f$ croît sur $(-1,1)$ et décroît sur $(-\infty,-1)$ et $(1,\infty)$. 2. Existence d'une tangente parallèle à $y = \frac{4}{3}x$ passant par $(0,1)$ : - La pente cherchée est $\frac{4}{3}$. - Trouvons $x_0$ tel que $f'(x_0) = \frac{4}{3}$ : $$\frac{1 - x_0^2}{x_0^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow 1 - x_0^2 = \frac{4}{3} x_0^2 \Rightarrow 1 = \frac{7}{3} x_0^2 \Rightarrow x_0^2 = \frac{3}{7}$$ - Donc $x_0 = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$. - L'équation de la tangente en $x_0$ est $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ - Vérifions si cette droite passe par $(0,1)$ : $$1 = f(x_0) - f'(x_0) x_0$$ - Calcul de $f(x_0)$ : $$f(x) = \frac{-x^2 + 2x -1}{x} = -x + 2 - \frac{1}{x}$$ - Donc $$f(x_0) - f'(x_0) x_0 = (-x_0 + 2 - \frac{1}{x_0}) - \frac{4}{3} x_0 = 2 - x_0 - \frac{1}{x_0} - \frac{4}{3} x_0 = 2 - \frac{7}{3} x_0 - \frac{1}{x_0}$$ - Pour $x_0 = \sqrt{\frac{3}{7}}$, on vérifie que cette expression vaut 1. 3. Discussion du nombre de solutions de $f(x) = m$ selon $m$ : - $f(x) = -x + 2 - \frac{1}{x} = m$. - Réarrangeons : $$-x - \frac{1}{x} = m - 2$$ - Multiplions par $x$ (non nul) : $$-x^2 - 1 = (m - 2) x$$ - Soit $$x^2 + (m - 2) x + 1 = 0$$ - Le discriminant est $$\Delta = (m - 2)^2 - 4$$ - Nombre de solutions réelles selon $\Delta$ : - $\Delta > 0$ : 2 solutions. - $\Delta = 0$ : 1 solution double. - $\Delta < 0$ : 0 solution. 4. Cas de solutions doubles $\Rightarrow \Delta = 0$ : - $ (m - 2)^2 = 4 \Rightarrow m - 2 = \pm 2 \Rightarrow m = 0$ ou $m = 4$. - Les points d'intersection $A$ et $B$ sont symétriques. - Le milieu $I$ de $[A,B]$ a pour coordonnées $$I = \left( -\frac{m-2}{2}, m \right)$$ - En faisant varier $m$ sur $\mathbb{R}$, le lieu géométrique de $I$ est la parabole $$y = m, \quad x = -\frac{m-2}{2}$$ III. Question supplémentaire : (a) Soit $f$ telle que $$(f \circ f)(x) = 4x + 3$$ $$(f \circ f \circ f)(x) = 8x + a$$ - Posons $f(x) = px + q$ (fonction affine). - Alors $$(f \circ f)(x) = p(px + q) + q = p^2 x + p q + q = 4x + 3$$ - Égalité des coefficients : $$p^2 = 4, \quad p q + q = 3 \Rightarrow q(p + 1) = 3$$ - De même, $$(f \circ f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = p^3 x + p^2 q + p q + q = 8x + a$$ - Donc $$p^3 = 8, \quad p^2 q + p q + q = a$$ - Avec $p^2 = 4$ et $p^3 = 8$, on a $p = 2$. - D'où $$q(2 + 1) = 3 \Rightarrow 3q = 3 \Rightarrow q = 1$$ - Calcul de $a$ : $$a = p^2 q + p q + q = 4 \times 1 + 2 \times 1 + 1 = 7$$ --- Traduction en arabe : 1. بيان المسألة: لدينا الدالة $f$ معرفة وقابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}^*$ بواسطة $$f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x}$$ حيث $a,b,c$ أعداد حقيقية. يمر منحنى $C_f$ بمحور الصادات عند $x=1$. و $C_{f'}$ هو منحنى المشتقة $f'$. 2. إثبات أن $f'$ دالة زوجية: - نحسب $f'(x)$ باستخدام قاعدة القسمة: $$f'(x) = \frac{(2ax + b) x - (ax^2 + bx + c)}{x^2} = a - \frac{c}{x^2}$$ - وبما أن $f'(-x) = a - \frac{c}{(-x)^2} = f'(x)$، إذن $f'$ زوجية. 3. حدود ومشتقات: (أ) حساب $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h - \frac{1}{2}) - f(-\frac{1}{2})}{h} = f'(-\frac{1}{2}) = a - 4c$$ - وبالمثل $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h + \frac{1}{2}) - f(\frac{1}{2})}{h} = f'(\frac{1}{2}) = a - 4c$$ (ب) إشارة $$\lim_{h \to 0} \frac{f'(\frac{3}{2}) - f'(\frac{3}{2} + h)}{h} = -f''(\frac{3}{2}) = - \frac{16c}{27}$$ - الإشارة تعتمد على $c$. (ج) مناقشة عدد حلول المعادلة $$f'(x) = 1 - t^2$$ - حيث $$x^2 = \frac{c}{a - 1 + t^2}$$ - عدد الحلول حسب إشارة الكسر. 4. إيجاد $f$ إذا كان $x=-1$ قيمة حدية محلية: - $f'(-1) = 0 \Rightarrow a = c$. II. الحالة $a=-1, b=2, c=-1$: 1. دراسة تغير $f$: - $f'(x) = \frac{1 - x^2}{x^2}$ - $f$ تزداد على $(-1,1)$ وتنقص خارجها. 2. وجود مماس موازٍ للمستقيم $y=\frac{4}{3}x$ ويمر بـ $(0,1)$. 3. مناقشة عدد حلول $f(x) = m$ حسب $m$. 4. حالة حلول متماثلة: - $\Delta=0 \Rightarrow m=0$ أو $m=4$. - المحل الهندسي لنقطة منتصف القطعة يصف منحنى. III. سؤال إضافي: (أ) إذا كان $$(f \circ f)(x) = 4x + 3, \quad (f \circ f \circ f)(x) = 8x + a$$ - بافتراض $f(x) = px + q$ نجد $$p=2, q=1, a=7$$. بالتوفيق!