1. Énoncé du problème : Soit $f$ définie par $$f(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}.$$ Nous devons : - Déterminer le domaine $D_f$. - Calculer les limites aux bornes de $D_f$. - Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en 0. - Montrer que $$f'(x) = \frac{-1}{3(x-1)^2 \sqrt[3]{\left(\frac{x}{x-1}\right)^2}}$$ pour tout $x \in D_f \setminus \{0,1\}$. - En déduire le tableau de variations de $f$. - Étudier la fonction $g$, restriction de $f$ sur $\mathbb{R}^{-}$, et montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ définie sur un certain intervalle $J$. 2. Détermination du domaine $D_f$ : - La fonction $f(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}$ est définie pour tout $x$ sauf où le dénominateur s’annule : $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. - De plus, la racine cubique est définie pour tous les réels (pas de restriction particulière). Donc, $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}.$$ 3. Limites aux bornes de $D_f$ : - Limite en $x \to 1^- :$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}.$$ Comme $x \to 1^-$, $x/(x-1) \to +\infty$ ou $-\infty$? - Pour $x<1$, $x-1<0$, donc $\frac{x}{x-1}$ est négatif et tend vers $-\infty$ car le dénominateur tend vers 0 négatif. Ainsi, $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{t \to -\infty} \sqrt[3]{t} = -\infty.$$ - Limite en $x \to 1^+ :$ Pour $x > 1$, $x-1 > 0$, donc $x/(x-1)$ tend vers $+\infty$. Donc $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty.$$ - Limite en $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x-1} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{1-0} = 1.$$ Donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \sqrt[3]{1} = 1.$$ - Limite en $x \to +\infty$ : Même raisonnement, $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x-1} = 1,$$ et donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.$$ - Limite en $x \to 0$ : $$f(0) = \sqrt[3]{0} = 0.$$ 4. Dérivabilité à gauche en 0 : - Comme la fonction est composée d'une racine cubique (qui est dérivable partout) et d'une fraction rationnelle dérivable sauf en 1, 0 est dans le domaine, on peut étudier la dérivabilité. - On calcule la dérivée à gauche en 0 et on vérifie la limite du taux d'accroissement : La dérivée sera donnée en détail à l'étape suivante. 5. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : Posons $$u(x) = \frac{x}{x-1}.$$ Alors, $$u'(x) = \frac{(x-1)\cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x -1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}.$$ $f(x) = \sqrt[3]{u(x)} = u(x)^{1/3}$. Donc, par la règle de dérivation des fonctions composées : $$f'(x) = \frac{1}{3} u(x)^{-2/3} \cdot u'(x) = \frac{1}{3} \left(\frac{x}{x-1}\right)^{-2/3} \cdot \left(\frac{-1}{(x-1)^2}\right).$$ Cela donne : $$f'(x) = -\frac{1}{3 (x-1)^2 \sqrt[3]{\left(\frac{x}{x-1}\right)^2}}$$ pour tout $x \in D_f \setminus \{0,1\}$. 6. Tableau de variations : - Étudions le signe de $f'(x)$ sur $D_f \setminus \{0,1\}$. - Le terme $(x-1)^2$ est toujours positif. - Le dénominateur contient la racine cubique de la quantité au carré, donc toujours positive. - Le signe de $f'(x)$ est donc entièrement déterminé par le signe négatif devant: $f'(x) < 0$ pour tout $x$ dans $D_f \setminus \{0,1\}$. - Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $(-\infty,1)$ et sur $(1,+\infty)$. - On rappelle les limites pour établir les variations globales : Sur $(-\infty,1)$ : $f(x)$ décroît de 1 à $-\infty$ Sur $(1,+\infty)$ : $f(x)$ décroît de $+\infty$ à 1 7. Étude de la fonction $g$, restriction de $f$ à $\mathbb{R}^-$ : - $g : \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}$. - On a vu que $g$ est strictement décroissante sur $(-\infty,0]$, elle est donc bijective sur $\mathbb{R}^-$ (car continue et strictement monotone). - Son image $J$ est l'intervalle $[\lim_{x \to -\infty} g(x), g(0)] = [1,0]$, mais comme $f$ décroît, les valeurs vont de 1 (limite en $-\infty$) à 0 (en 0). - Donc $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1} : J=[0,1] \to \mathbb{R}^-$. - Pour déterminer $g^{-1}$, on pose $$y = \sqrt[3]{\frac{x}{x-1}} \Rightarrow y^3 = \frac{x}{x-1}.$$ On résout pour $x$ : $$ y^3(x-1) = x \Rightarrow y^3 x - y^3 = x \Rightarrow y^3 x - x = y^3 $$ $$ x(y^3 - 1) = y^3 \Rightarrow x = \frac{y^3}{y^3 -1}.$$ - Ainsi, $$g^{-1}(y) = \frac{y^3}{y^3 -1}, \quad y \in J=[0,1[.$$ (Attention à la borne 1 exclue puisque $x=1$ n'appartient pas au domaine.)