1. Énoncé du problème : Il s'agit d'étudier la fonction $$f(x) = \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 9}$$ définie sur l'intervalle $[-3,+\infty[$. 2. Simplification : Reconnaissons que l'expression sous la racine cubique est un développement remarquable. En fait, $$x^3 + 3x^2 + 3x + 9 = (x+1)^3 + 8$$ car: - $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ - Donc, $(x+1)^3 + 8 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + 8 = x^3 + 3x^2 + 3x + 9$ 3. Réécrivons donc la fonction comme : $$f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^3 + 8}$$ 4. Pour mieux comprendre, posons $u = x + 1$. La fonction devient alors : $$f(x) = \sqrt[3]{u^3 + 8}$$ 5. La fonction $g(u) = \sqrt[3]{u^3 + 8}$ est définie partout pour $u \geq -4$ (car $x \geq -3$ implique $u = x + 1 \geq -2$) ; en fait ici pour tout $u \geq -2$. 6. Il est intéressant d'observer que $f$ est la cube racine d'une somme qui correspond à $u^3 + 2^3$. 7. Enfin, on peut conclure que la fonction est bien définie sur $x \in [-3,+\infty[$ et sa forme simplifiée est : $$f(x) = \sqrt[3]{(x+1)^3 + 8}$$ 8. Cela permet une étude plus simple de la fonction (dérivée, variation, etc.).