1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x \sqrt[3]{4 - x}$. 2. **Détermination du domaine $D_f$** : La fonction $f$ est définie pour tous $x$ tels que $4 - x \geq 0$ car la racine cubique est définie sur $\mathbb{R}$. Donc $D_f = ]-\infty, 4]$. 3. **Étude de la branche infinie au voisinage de $-\infty$** : - Lorsque $x \to -\infty$, $4 - x \to +\infty$ donc $\sqrt[3]{4 - x} \sim \sqrt[3]{-x}$. - Ainsi, $f(x) \sim x \cdot \sqrt[3]{-x} = x \cdot (-x)^{1/3} = -|x|^{4/3}$ qui tend vers $-\infty$. 4. **Dérivabilité à gauche en 4** : - La fonction est définie jusqu'à 4 inclus. - Calcul de la dérivée à gauche en 4 : $$f'(x) = \sqrt[3]{4 - x} + x \cdot \frac{d}{dx} \sqrt[3]{4 - x} = \sqrt[3]{4 - x} - \frac{x}{3 (4 - x)^{2/3}}$$ - En $x=4$, la dérivée à gauche est $$f'(4^-) = 0 - \frac{4}{3 \cdot 0} = -\infty$$ - La dérivée n'existe pas à droite de 4 car $f$ n'est pas définie pour $x > 4$. - Géométriquement, la tangente verticale en $x=4$ indique un point anguleux. 5. **Vérification de l'expression $f(x) - x = \frac{x(3 - x)}{(\sqrt[3]{4 - x})^2 + \sqrt[3]{4 - x} + 1}$** : - Posons $t = \sqrt[3]{4 - x}$. - On a $f(x) - x = x t - x = x(t - 1)$. - Le dénominateur est $t^2 + t + 1$. - Or, $t^3 = 4 - x$, donc $x = 4 - t^3$. - En développant, on vérifie l'égalité algébriquement. 6. **Position relative de $(C_f)$ et de la droite $y = x$** : - Étudier le signe de $f(x) - x$. - Comme le dénominateur est toujours positif (somme de cubes), le signe dépend de $x(3 - x)$. - Pour $x \in ]-\infty, 0[$, $x(3 - x) < 0$ donc $f(x) < x$. - Pour $x \in ]0, 3[$, $x(3 - x) > 0$ donc $f(x) > x$. - Pour $x > 3$, $x(3 - x) < 0$ donc $f(x) < x$. 7. **Dérivée $f'(x)$ et tableau de variations** : - Montrer que $$f'(x) = \frac{4(3 - x)}{3 (\sqrt[3]{4 - x})^2}$$ - Le signe de $f'(x)$ dépend de $3 - x$. - $f'(x) > 0$ pour $x < 3$, $f'(3) = 0$, $f'(x) < 0$ pour $x > 3$. - $f$ est croissante sur $]-\infty, 3]$ et décroissante sur $[3, 4]$. 8. **Tangente en $x = -4$** : - Calcul de $f(-4) = -4 \cdot \sqrt[3]{8} = -4 \cdot 2 = -8$. - Calcul de $f'(-4) = \frac{4(3 - (-4))}{3 (\sqrt[3]{8})^2} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$. - Équation de la tangente : $$y = f(-4) + f'(-4)(x + 4) = -8 + \frac{7}{3}(x + 4)$$ 9. **Dérivée seconde $f''(x)$ et concavité** : - Montrer que $$f''(x) = \frac{4(x - 6)}{9 (\sqrt[3]{4 - x})^5}$$ - Le signe de $f''(x)$ dépend de $x - 6$. - $f$ est concave sur $]-\infty, 6[$ et convexe sur $]6, 4]$ (mais $6 > 4$, donc concave sur tout $D_f$). 10. **Fonction réciproque $g^{-1}$ de $g = f_{|]-\infty, 3[}$** : - $g$ est strictement croissante sur $]-\infty, 3[$ donc bijective sur son image $J = g(]-\infty, 3[)$. 11. **Dérivabilité de $g^{-1}$ en 0 et calcul de $(g^{-1})'(0)$** : - $g(0) = 0$. - $(g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)}$. - Calcul de $g'(0) = \frac{4(3 - 0)}{3 (\sqrt[3]{4})^2} = \frac{12}{3 \cdot (\sqrt[3]{4})^2} = \frac{4}{(\sqrt[3]{4})^2}$. - Donc $(g^{-1})'(0) = \frac{(\sqrt[3]{4})^2}{4}$. 12. **Tableau de variations de $g^{-1}$** : - Comme $g$ est croissante, $g^{-1}$ est aussi croissante sur $J$. 13. **Construction graphique** : - Tracer la droite $y = x$. - Tracer la courbe $(C_f)$ de $f$. - Tracer la courbe $(C_{g^{-1}})$ de $g^{-1}$. **Réponse finale** : - Domaine $D_f = ]-\infty, 4]$. - $f$ croissante sur $]-\infty, 3]$, décroissante sur $[3, 4]$. - Tangente verticale en $x=4$. - Position relative à la droite $y=x$ selon le signe de $x(3-x)$. - Dérivée seconde montre concavité sur $D_f$. - $g^{-1}$ définie et dérivable sur $J$ avec dérivée en 0 égale à $\frac{(\sqrt[3]{4})^2}{4}$.