1. **Énoncé du problème :** On donne les valeurs de la fonction $f$ en certains points : \begin{align*} x &: 0 & 1 & 2 & 4 \\ f(x) &: -4 & -1 & 3 & 5 \end{align*} 1) a) Montrer que $f$ est strictement croissante. b) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0;4]$. 2) a) Justifier que sur $[0;4]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$. b) Déterminer un encadrement de $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs. --- 1) a) Pour montrer que $f$ est strictement croissante, on regarde les valeurs de $f$ pour des $x$ croissants : - De $0$ à $1$, $f(0) = -4$ et $f(1) = -1$, donc $f(1) > f(0)$. - De $1$ à $2$, $f(1) = -1$ et $f(2) = 3$, donc $f(2) > f(1)$. - De $2$ à $4$, $f(2) = 3$ et $f(4) = 5$, donc $f(4) > f(2)$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $[0;4]$ car $f(x)$ augmente quand $x$ augmente. b) Le tableau de variation est : \begin{tabular}{c|cccc} $x$ & 0 & 1 & 2 & 4 \\ \hline $f(x)$ & -4 & -1 & 3 & 5 \\ \text{Variation} & \nearrow & \nearrow & \nearrow & \end{tabular} --- 2) a) Comme $f$ est strictement croissante sur $[0;4]$ et que $f(0) = -4 < 0$ et $f(4) = 5 > 0$, par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0;4]$. b) Pour encadrer $\alpha$, on cherche deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $f(n) < 0 < f(n+1)$. - $f(0) = -4 < 0$ et $f(1) = -1 < 0$ donc pas encore. - $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 3 > 0$ donc $\alpha \in ]1;2[$. Donc $\alpha$ est encadré par $1$ et $2$. --- **Exercice 4 :** Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par : $$h(x) = \frac{x^2 - x - 4}{x - 1}$$ On note $(C)$ sa courbe représentative et $(D)$ la droite d'équation $y = x$. 1) a) Justifier que $$\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$$ b) Vérifier que pour tout $x \neq 1$, $$h(x) - x = - \frac{4}{x - 1}$$ c) Justifier que $$\lim_{x \to +\infty} (h(x) - x) = 0$$ d) Interpréter graphiquement ce résultat. e) Étudier la position relative de $(C)$ et $(D)$. 2) a) Prouver que $$\lim_{x \to 1^+} h(x) = +\infty$$ b) Interpréter graphiquement ce résultat. 3) On admet que pour $x \neq 1$, $$h(x) = x - \frac{4}{x - 1}$$ On pose $$g(x) = h(x + 1) - 1$$ a) Établir que pour $x \neq 0$, $$g(x) = x - \frac{4}{x}$$ b) Justifier que $g$ est impaire. c) Interpréter graphiquement les résultats précédents. --- 1) a) Pour $x \to +\infty$, le terme dominant du numérateur est $x^2$ et du dénominateur $x$, donc $$h(x) \sim \frac{x^2}{x} = x \to +\infty$$ b) Calculons : $$h(x) - x = \frac{x^2 - x - 4}{x - 1} - x = \frac{x^2 - x - 4 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - x - 4 - (x^2 - x)}{x - 1} = \frac{-4}{x - 1}$$ c) Quand $x \to +\infty$, $\frac{-4}{x - 1} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (h(x) - x) = 0$$ d) Graphiquement, cela signifie que la courbe $(C)$ a une asymptote oblique donnée par la droite $(D)$ d'équation $y = x$. e) La position relative de $(C)$ et $(D)$ dépend du signe de $h(x) - x = -\frac{4}{x - 1}$ : - Pour $x > 1$, $x - 1 > 0$ donc $h(x) - x < 0$, la courbe $(C)$ est en dessous de $(D)$. - Pour $x < 1$, $x - 1 < 0$ donc $h(x) - x > 0$, la courbe $(C)$ est au-dessus de $(D)$. --- 2) a) Étudions la limite à droite de 1 : $$\lim_{x \to 1^+} h(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x - 4}{x - 1}$$ Le numérateur en $x=1$ vaut $1 - 1 - 4 = -4$ (constante négative), le dénominateur tend vers $0^+$. Donc $$h(x) \sim \frac{-4}{0^+} = -\infty$$ Mais attention, le numérateur est négatif, le dénominateur positif, donc le quotient tend vers $-\infty$. Recalculons avec la forme simplifiée : $$h(x) - x = -\frac{4}{x - 1}$$ Quand $x \to 1^+$, $x - 1 \to 0^+$ donc $-\frac{4}{x - 1} \to -\infty$. Donc $$h(x) = x - \frac{4}{x - 1} \to 1 - (+\infty) = -\infty$$ Donc la limite est $-\infty$ et non $+\infty$. b) Graphiquement, cela signifie que la courbe $(C)$ a une branche verticale asymptote en $x=1$ et tend vers $-\infty$ à droite. --- 3) a) Pour $x \neq 0$, $$g(x) = h(x + 1) - 1 = (x + 1) - \frac{4}{(x + 1) - 1} - 1 = x - \frac{4}{x}$$ b) Pour montrer que $g$ est impaire, calculons $g(-x)$ : $$g(-x) = -x - \frac{4}{-x} = -x + \frac{4}{x} = -\left(x - \frac{4}{x}\right) = -g(x)$$ Donc $g$ est impaire. c) Graphiquement, la fonction $g$ est symétrique par rapport à l'origine, ce qui signifie que la courbe de $g$ est symétrique par rapport à l'origine. --- **Réponses finales :** - $f$ est strictement croissante sur $[0;4]$. - $\alpha$, solution de $f(x) = 0$, est unique et $1 < \alpha < 2$. - $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$. - $h(x) - x = -\frac{4}{x - 1}$. - $\lim_{x \to +\infty} (h(x) - x) = 0$, donc $(C)$ a une asymptote oblique $(D)$. - $(C)$ est au-dessus de $(D)$ pour $x < 1$ et en dessous pour $x > 1$. - $\lim_{x \to 1^+} h(x) = -\infty$ (correction de la limite). - $g(x) = x - \frac{4}{x}$ est impaire.