1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 2}.$$ Nous devons : - Vérifier que $x^2 + 2x + 2 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Montrer que $f$ est minorée par 1 sur $\mathbb{R}$. - Déterminer si 1 est une valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$. - Montrer que 2 est une valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$. 2. **Vérification que $x^2 + 2x + 2 > 0$ pour tout $x$ :** Le polynôme $x^2 + 2x + 2$ est un trinôme du second degré. Calculons son discriminant : $$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0.$$ Un discriminant négatif signifie que le polynôme n'a pas de racines réelles. Le coefficient de $x^2$ est positif ($1 > 0$), donc le polynôme est toujours strictement positif. Ainsi, $$x^2 + 2x + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ 3. **Expression de $f(x)$ :** Puisque le numérateur et le dénominateur sont identiques et non nuls, $$f(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 2} = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ 4. **Montrer que $f$ est minorée par 1 :** Comme $f(x) = 1$ pour tout $x$, la fonction est constante et égale à 1. Donc, $f$ est minorée par 1 (en fait, $f(x) \geq 1$ est vrai avec égalité partout). 5. **Est-ce que 1 est une valeur minimale de $f$ ?** Oui, puisque $f(x) = 1$ pour tout $x$, 1 est la valeur minimale (et maximale) de $f$. 6. **Montrer que 2 est une valeur maximale de $f$ :** La fonction $f$ ne prend jamais la valeur 2 car elle est constante égale à 1. Donc 2 n'est pas une valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$. **Remarque sur le graphique/tableau :** Les valeurs données (0,75; 0,75; 0,5; 1) ne correspondent pas à la fonction $f$ définie ici, qui est constante égale à 1. **Conclusion :** - $x^2 + 2x + 2 > 0$ pour tout $x$. - $f(x) = 1$ pour tout $x$. - $f$ est minorée par 1. - 1 est la valeur minimale (et maximale) de $f$. - 2 n'est pas une valeur maximale de $f$. **Réponse finale :** $$f(x) = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$