1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x \arctan(x)$. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction $\arctan(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, $D_f = \mathbb{R}$. 3. **Parité de la fonction $f$ :** Rappel : $\arctan(-x) = -\arctan(x)$ car $\arctan$ est une fonction impaire. Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = (-x) \arctan(-x) = -x (-\arctan(x)) = x \arctan(x) = f(x)$$ Donc, $f$ est une fonction paire. 4. **Domaine de dérivabilité et dérivée $f'$ :** La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Utilisons la règle du produit : $$f'(x) = 1 \cdot \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2}$$ 5. **Tableau de variation de $f'$ sur $[0, +\infty[$ :** Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0, +\infty[$. Calculons la dérivée seconde $f''(x)$ pour étudier la variation de $f'$ : $$f''(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{(1 + x^2) - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$$ Simplifions : $$f''(x) = \frac{(1 + x^2)(1) + 1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 + 1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{(1 + x^2)^2} > 0$$ Donc, $f'$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. 6. **Signe de $f'(x)$ sur $[0, +\infty[$ :** Calculons $f'(0)$ : $$f'(0) = \arctan(0) + \frac{0}{1 + 0} = 0$$ Puisque $f'$ est croissante et $f'(0) = 0$, on a $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$. 7. **Tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :** - $f$ est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - $f'$ est négative sur $]-\infty, 0[$ (car $f'$ est impaire et croissante sur $[0, +\infty[$), nulle en 0, positive sur $]0, +\infty[$. Donc, $f$ décroît sur $]-\infty, 0]$ et croît sur $[0, +\infty[$ avec un minimum en $x=0$. 8. **Solutions de l'équation $f(x) = 1$ :** - $f(0) = 0$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $\arctan(x) \to \frac{\pi}{2}$ et $x \to +\infty$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. - $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ donc $f(x) = 1$ admet une unique solution positive. - Par symétrie (fonction paire), il existe une unique solution négative. Donc, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions réelles. **Réponse finale :** - $D_f = \mathbb{R}$. - $f$ est paire. - $f'(x) = \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2}$. - $f'$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ et $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$. - $f$ décroît sur $]-\infty, 0]$, croît sur $[0, +\infty[$. - L'équation $f(x) = 1$ a exactement deux solutions réelles.