1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x \arctan(x)$. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction $\arctan(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f$ est définie sur $D_f = \mathbb{R}$. 3. **Parité de $f$ :** Rappel : $\arctan(-x) = -\arctan(x)$ (fonction impaire). Calculons $f(-x) = (-x) \arctan(-x) = -x (-\arctan(x)) = x \arctan(x) = f(x)$. Donc $f$ est une fonction paire. 4. **Dérivabilité et dérivée $f'$ :** $f$ est composée de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Utilisons la règle du produit : $$f'(x) = \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1+x^2}.$$ 5. **Tableau de variation de $f'$ sur $[0,+\infty[$ :** Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0,+\infty[$. - $\arctan(x)$ est croissante et positive pour $x>0$. - $\frac{x}{1+x^2} \geq 0$ pour $x \geq 0$. Donc $f'(x) \geq 0$ sur $[0,+\infty[$. 6. **Conclusion sur $f'(x)$ :** Pour tout $x \geq 0$, $f'(x) \geq 0$. 7. **Tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :** - $f$ est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - $f'$ est positive sur $[0,+\infty[$, donc $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$. - Par symétrie, $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$. 8. **Solutions de l'équation $f(x) = 1$ :** - $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ avec $f(0)=0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - Par symétrie, $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ avec $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. - Donc l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions réelles, une négative et une positive. **Réponse finale :** - $D_f = \mathbb{R}$. - $f$ est paire. - $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = \arctan(x) + \frac{x}{1+x^2}$. - $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$. - $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$. - L'équation $f(x) = 1$ a exactement deux solutions réelles.