1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $g$ définie par : $$g : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$ $$(x,y) \mapsto \frac{y}{\sqrt{y} + \sqrt{x}}$$ 2. **Déterminer l'ensemble de définition $E$ de $g$ :** Pour que $g(x,y)$ soit défini, il faut que les racines carrées soient définies et que le dénominateur ne soit pas nul. - $x \geq 0$ et $y \geq 0$ car racine carrée. - $\sqrt{y} + \sqrt{x} \neq 0$ donc $(x,y) \neq (0,0)$. Donc : $$E = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0, y \geq 0, (x,y) \neq (0,0)\}$$ 3. **L'ensemble $E$ est-il ouvert ou fermé ?** - $E$ est le premier quadrant fermé privé du point $(0,0)$. - Le premier quadrant fermé est fermé, mais enlever un point le rend ni ouvert ni fermé. 4. **Quel est l'intérieur $\mathring{E}$ de $E$ ?** - L'intérieur est le premier quadrant strictement positif : $$\mathring{E} = \{(x,y) \mid x > 0, y > 0\}$$ 5. **Quelle est l'adhérence $\overline{E}$ de $E$ ?** - L'adhérence est le premier quadrant fermé incluant le point $(0,0)$ : $$\overline{E} = \{(x,y) \mid x \geq 0, y \geq 0\}$$ 6. **Montrer que pour tout $(x,y) \in E$, on a $\sqrt{y} + \sqrt{x} \geq \sqrt{x + y}$ :** - Par inégalité de Cauchy-Schwarz ou en développant : $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy} \geq x + y $$ - Donc $$ \sqrt{x} + \sqrt{y} \geq \sqrt{x + y} $$ 7. **Peut-on prolonger $g$ par continuité sur $\overline{E}$ ?** - En $(0,0)$, on regarde la limite : $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y}{\sqrt{y} + \sqrt{x}} $$ - En posant $x = t^2$, $y = t^2$, on obtient : $$ \frac{t^2}{t + t} = \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2} \to 0 $$ - La limite est 0, donc on peut définir $g(0,0) = 0$ pour prolonger par continuité. **Exercice similaire pour s'entraîner :** Soit la fonction $h$ définie par : $$h : F \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$ $$(x,y) \mapsto \frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y + 1}}$$ 1. Déterminer l'ensemble de définition $F$ de $h$. 2. L'ensemble $F$ est-il ouvert ou fermé ? 3. Quel est l'intérieur $\mathring{F}$ de $F$ ? 4. Quel est l'adhérence $\overline{F}$ de $F$ ? 5. Montrer que pour tout $(x,y) \in F$, on a $\sqrt{x} + \sqrt{y + 1} \geq \sqrt{x + y + 1}$. 6. Peut-on prolonger la fonction $h$ par continuité sur l'adhérence $\overline{F}$ de $F$ ?