1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{x-1}}$. Nous allons déterminer son domaine $D_f$, calculer les limites aux bornes, étudier la dérivabilité à gauche en 0, montrer la formule de la dérivée, en déduire les variations, et étudier la fonction réciproque sur $\mathbb{R}^-$.\n\n2. Détermination du domaine $D_f$ : La fonction est définie lorsque le dénominateur $x-1$ est non nul (car division) : $x \neq 1$. Le radicand est $\frac{x}{x-1}$. La racine cubique est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc pas de restriction supplémentaire.\n\nDonc : $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}.$$\n\n3. Calcul des limites aux bornes de $D_f$ : - Quand $x \to 1^-$, $\frac{x}{x-1} \to \frac{1}{0^-} = -\infty$, donc $f(x) = \sqrt[3]{-\infty} = -\infty$.\n- Quand $x \to 1^+$, $\frac{x}{x-1} \to +\infty$, donc $f(x) = +\infty$.\n- Quand $x \to -\infty$, $\frac{x}{x-1} \approx \frac{x}{x} = 1$ (car $x-1$ proche de $x$), donc $f(x) \to \sqrt[3]{1} = 1$.\n- Quand $x \to +\infty$, idem, $f(x) \to 1$.\n\n4. Étude de la dérivabilité à gauche en 0 : Au voisinage de 0, $0 \in D_f$, car $0 \neq 1$. La fonction est composée de racine cubique ($C^\infty$ sur $\mathbb{R}$) et d'une fonction rationnelle définie hors $x=1$, continue en 0. Calculons la dérivée à gauche en 0 via la définition ou dérivabilité standard : elle est dérivable en 0 (gauche) puisque la fonction est la composition de fonctions dérivables en 0.\n\n5. Montrons que : $$f'(x) = \frac{-1}{3(x-1)^2 \sqrt[3]{\left(\frac{x}{x-1}\right)^2}}$$ pour $x \in D_f \setminus \{0,1\}$. Soit $u(x) = \frac{x}{x-1}$. Alors $f(x) = u(x)^{1/3}$. Calcul de $u'(x) = \frac{(x-1)\cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$. Par la règle de dérivation en chaîne : $$f'(x) = \frac{1}{3} u(x)^{-2/3} \cdot u'(x) = \frac{1}{3} \left(\frac{x}{x-1}\right)^{-2/3} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) = \frac{-1}{3 (x-1)^2 \left(\frac{x}{x-1}\right)^{2/3}}.$$ En réécrivant la racine cubique : $$\left(\frac{x}{x-1}\right)^{2/3} = \sqrt[3]{\left(\frac{x}{x-1}\right)^2}$$ ce qui donne la formule demandée. Pourquoi multiplier par $1/3$ ? C'est la dérivée de la fonction puissance $t^{1/3}$ qui est $\frac{1}{3} t^{-2/3}$, provenant de la règle de dérivation : $$\frac{d}{dt} t^{n} = n t^{n-1}\quad \text{avec} \quad n=\frac{1}{3}.$$\n 6. Tableau des variations : - Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $-1$ (toujours négatif) et des dénominateurs (toujours positifs sauf aux points exclus). - Cela montre que $f$ est strictement décroissante sur chaque intervalle de $D_f$. 7. Soit $g$ la restriction de $f$ à $\mathbb{R}^-$. Montrons que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$. Puisque $g$ est strictement décroissante et continue sur $\mathbb{R}^-$, elle est bijective sur son image $J = g(\mathbb{R}^-)$. On peut déterminer $J$ en évaluant les bornes : - Quand $x \to -\infty$, $g(x) \to 1$. - En $0^-$, calculons $g(0) = \sqrt[3]{\frac{0}{0-1}} = \sqrt[3]{0} = 0$. Donc $J = [0,1)$, la fonction admet donc un inverse $g^{-1}: J \to \mathbb{R}^-$.