1. Énoncé du problème : Montrer qu'une famille $(x_i)_{i \in I}$ est sommable signifie démontrer que la somme de ses éléments converge. 2. Formule et définition : Une famille $(x_i)_{i \in I}$ est sommable si la série indexée par $I$ converge, c'est-à-dire si la somme partielle $$S_F = \sum_{i \in F} x_i$$ converge lorsque $F$ parcourt les parties finies de $I$ de manière croissante. 3. Règles importantes : - La sommabilité dépend de la convergence absolue ou conditionnelle. - Si la série est absolument convergente, alors elle est sommable. 4. Méthode pour montrer la sommabilité : - Vérifier que la série des valeurs absolues $$\sum_{i \in I} |x_i|$$ converge. - Si oui, alors la famille est sommable. 5. Exemple d'application : - Soit $(x_i) = \frac{1}{2^i}$ pour $i \in \mathbb{N}$. - La série $$\sum_{i=0}^\infty \left| \frac{1}{2^i} \right| = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^i}$$ est une série géométrique convergente. - Donc, la famille est sommable. En résumé, pour montrer qu'une famille est sommable, il faut démontrer la convergence de la série des valeurs absolues de ses termes.