1. Énoncé du problème : On considère la fonction $h(x,y) = 2x^2 + xy + (y-7)^2 + 5$ et un point critique supposé $I = (2,8)$. Il faut déterminer la nature de ce point critique (minimum local, maximum local, ou autre). 2. Rappel des notions : Pour étudier un point critique d'une fonction de deux variables, on calcule la matrice Hessienne $H$ au point critique. La matrice Hessienne est la matrice des dérivées secondes : $$H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} \end{pmatrix}$$ 3. Calcul des dérivées partielles secondes : - $\frac{\partial h}{\partial x} = 4x + y$ - $\frac{\partial h}{\partial y} = x + 2(y-7)$ Dérivées secondes : - $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 4$ - $\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 2$ - $\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = 1$ 4. Matrice Hessienne : $$H = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 5. Déterminant de la Hessienne : $$\det(H) = 4 \times 2 - 1 \times 1 = 8 - 1 = 7 > 0$$ 6. Valeur de $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 4 > 0$. 7. Conclusion : - Si $\det(H) > 0$ et $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} > 0$, alors $I$ est un minimum local. 8. Vérification du point critique : - Calculons $\nabla h(2,8)$ : - $\frac{\partial h}{\partial x}(2,8) = 4 \times 2 + 8 = 8 + 8 = 16 \neq 0$ - $\frac{\partial h}{\partial y}(2,8) = 2 + 2(8-7) = 2 + 2 = 4 \neq 0$ Le point $(2,8)$ n'est pas un point critique car le gradient n'est pas nul. Le point critique donné dans l'énoncé semble incorrect. 9. Vérifions pour $I = (-2,8)$ (proposé dans les réponses) : - $\frac{\partial h}{\partial x}(-2,8) = 4(-2) + 8 = -8 + 8 = 0$ - $\frac{\partial h}{\partial y}(-2,8) = -2 + 2(8-7) = -2 + 2 = 0$ Donc $I = (-2,8)$ est un point critique. 10. La Hessienne est la même, donc $I = (-2,8)$ est un minimum local. Réponse correcte : B. $f$ admet un minimum local en $I = (-2,8)$.