1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} x^2 \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}}\right) - x & \text{si } x \geq 0, \\ \sqrt{x} + 2x^2 - x & \text{si } x < 0. \end{cases}$$ 2. **Calcul de $\lim_{x \to 0} f(x)$ :** - Pour $x \to 0^+$, on étudie $$f(x) = x^2 \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}}\right) - x.$$ - Comme $\cos$ est bornée entre $-1$ et $1$, on a $$-x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}}\right) \leq x^2.$$ - Donc $$-x^2 - x \leq f(x) \leq x^2 - x.$$ - En faisant tendre $x$ vers 0 par valeurs positives, on obtient $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0.$$ - Pour $x \to 0^-$, on étudie $$f(x) = \sqrt{x} + 2x^2 - x.$$ - Comme $x < 0$, $\sqrt{x}$ n'est pas défini dans $\mathbb{R}$, donc on considère la limite à gauche uniquement si $f$ est définie sur $\mathbb{R}^-$ avec $x$ négatif proche de 0. Ici, $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$ seulement, donc la limite à gauche n'existe pas dans $\mathbb{R}$. 3. **Interprétation graphique :** La fonction est définie différemment à gauche et à droite de 0, mais la limite à droite est 0. La fonction est donc continue à droite en 0. 4. **Calcul de $\lim_{x \to 0} f(x)$ et $\lim_{x \to 0} f^2(x)$ :** - Comme $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, on a $$\lim_{x \to 0^+} f^2(x) = (\lim_{x \to 0^+} f(x))^2 = 0^2 = 0.$$ - La limite de $f(x)$ à gauche n'existe pas dans $\mathbb{R}$, donc on ne peut pas conclure sur la limite globale. 5. **Montrer que $\forall x < 0$, on a $x^2 - x^2 \leq f(x) \leq x^2 + x^2$ :** - Pour $x < 0$, $f(x) = \sqrt{x} + 2x^2 - x$ n'est pas défini dans $\mathbb{R}$ car $\sqrt{x}$ n'existe pas pour $x < 0$. - Si on considère une erreur de transcription et que $f(x) = -\sqrt{-x} + 2x^2 - x$ pour $x < 0$, alors $$-\sqrt{-x} + 2x^2 - x$$ - On peut majorer et minorer $f(x)$ par des expressions en $x^2$. 6. **En déduire que $f$ est continue en 0 :** - Si les limites à gauche et à droite sont égales à 0, alors $f$ est continue en 0. **Conclusion :** - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. - La limite à gauche n'existe pas dans $\mathbb{R}$ avec la définition donnée. - Si $f$ est modifiée pour être définie à gauche, on peut montrer la continuité en 0.