1. Nous allons étudier les deux fonctions données : $$y=(x+1)e^x$$ et $$y=e^{3x} - 3x$$. 2. Étude de la fonction $$y=(x+1)e^x$$ : - La fonction est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $e^x$ est toujours défini. - Dérivée : $$y' = \frac{d}{dx}((x+1)e^x) = (x+1)\frac{d}{dx}(e^x) + e^x\frac{d}{dx}(x+1) = (x+1)e^x + e^x = (x+2)e^x$$. - Les points critiques sont les solutions de $y' = 0$ : $(x+2)e^x=0$. Comme $e^x > 0$ toujours, on a $x+2=0$, donc $x=-2$. - Étude du signe de $y'$ : pour $x<-2$, $x+2<0$ donc $y'<0$ (fonction décroissante), pour $x>-2$, $x+2>0$ donc $y'>0$ (fonction croissante). - Minimum local en $x=-2$, valeur : $$y(-2)=(-2+1)e^{-2} = -e^{-2} = -\frac{1}{e^{2}}$$. 3. Étude de la fonction $$y=e^{3x} - 3x$$ : - Fonction définie sur $\mathbb{R}$. - Dérivée : $$y' = 3e^{3x} - 3 = 3(e^{3x} - 1)$$. - Points critiques : $y'=0 \Rightarrow e^{3x} - 1 = 0 \Rightarrow e^{3x} = 1 \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$. - Signe de $y'$ : Pour $x<0$, $e^{3x} <1$, donc $y' <0$ (fonction décroissante). Pour $x>0$, $e^{3x} >1$, donc $y' >0$ (fonction croissante). - Minimum local en $x=0$, valeur : $$y(0)=e^0 - 0 = 1$$. 4. Résumé : - Première fonction a un minimum local en $x=-2$ de valeur $-\frac{1}{e^2}$. - Deuxième fonction a un minimum local en $x=0$ de valeur $1$.