1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ selon plusieurs questions : domaine, limites, dérivabilité, dérivée, variations, position relative à la droite $y=x$ et tracé. 2. **Détermination du domaine $D_f$ :** La fonction contient $\sqrt{x}$, donc $x \geq 0$. Donc, $D_f = [0, +\infty[$. 3. **Calcul des limites aux extrémités de $D_f$ :** - Limite en $0$ : $$\lim_{x \to 0^+} (\sqrt{x} - 1)^2 = (0 - 1)^2 = 1.$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 1)^2 = +\infty$$ car $\sqrt{x} \to +\infty$ donc $(\sqrt{x} - 1)^2 \to +\infty$. 4. **Interprétation des limites :** La fonction est définie à partir de $0$. À $0$, $f(0) = 1$. Quand $x$ devient très grand, $f(x)$ devient très grand aussi. 5. **Dérivabilité à droite de $0$ :** On vérifie la dérivabilité en calculant la dérivée à droite en $0$. La dérivée de $f$ est donnée par la formule à montrer (question 4) : $$f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}.$$ Calculons la limite de $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ quand $x \to 0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{x} - 1)^2 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 2\sqrt{x} + 1 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left(1 - 2 \frac{\sqrt{x}}{x}\right).$$ Or $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, donc la limite n'existe pas finie. Donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ à droite. Graphiquement, cela signifie un point anguleux ou un coin en $x=0$. 6. **Montrer que $f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ :** Partons de $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1$. Dérivons terme à terme : $$f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.$$ Mais il faut montrer la forme demandée. Reprenons la forme demandée : $$\frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$$ Ce qui est égal à notre dérivée calculée. Donc la formule est correcte. 7. **Tableau de variation de $f$ :** - $f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$. - Pour $x > 0$, le signe de $f'(x)$ dépend de $\sqrt{x} - 1$. - Si $0 < x < 1$, alors $\sqrt{x} < 1$ donc $f'(x) < 0$ (fonction décroissante). - Si $x > 1$, alors $\sqrt{x} > 1$ donc $f'(x) > 0$ (fonction croissante). - En $x=1$, $f'(1) = 0$ (point critique). Valeurs : - $f(0) = 1$, - $f(1) = (1 - 1)^2 = 0$. Donc $f$ décroît de $1$ à $0$ sur $[0,1]$ puis croît de $0$ à $+\infty$ sur $[1,+\infty[$. 8. **Position relative de $(C_f)$ avec la droite $y = x$ :** Étudions le signe de $f(x) - x$ : $$f(x) - x = (\sqrt{x} - 1)^2 - x = x - 2\sqrt{x} + 1 - x = 1 - 2\sqrt{x}.$$ - Si $\sqrt{x} < \frac{1}{2}$, alors $f(x) - x > 0$ donc $f(x) > x$. - Si $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, alors $f(x) = x$. - Si $\sqrt{x} > \frac{1}{2}$, alors $f(x) < x$. Donc la courbe est au-dessus de la droite $y=x$ pour $x < \frac{1}{4}$, touche la droite en $x=\frac{1}{4}$, puis est en dessous pour $x > \frac{1}{4}$. 9. **Tracé de $(C_f)$ :** La courbe commence en $(0,1)$, décroît jusqu'à $(1,0)$, puis croît vers $+\infty$. Elle croise la droite $y=x$ en $x=\frac{1}{4}$. --- **Réponse finale :** - $D_f = [0, +\infty[$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $f$ n'est pas dérivable en $0$ à droite - $f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ - $f$ décroît sur $[0,1]$ et croît sur $[1,+\infty[$ - $(C_f)$ est au-dessus de $y=x$ pour $x < \frac{1}{4}$, touche en $x=\frac{1}{4}$, puis en dessous