1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie par $$g(x) = 3x^3 - 4x^2 + 4x$$ 2. **Étude de la fonction $g$ :** - Calculons la dérivée $g'(x)$ pour étudier la croissance et décroissance : $$g'(x) = 9x^2 - 8x + 4$$ - Étudions le signe de $g'(x)$ en calculant son discriminant : $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 9 \times 4 = 64 - 144 = -80 < 0$$ - Comme $\Delta < 0$, $g'(x)$ ne s'annule pas et est toujours du même signe. Le coefficient dominant de $g'(x)$ est positif ($9$), donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 3. **Tracer la courbe $(C_g)$ :** - La fonction est un polynôme de degré 3, strictement croissante. - Points remarquables : - $g(0) = 0$ - $g(1) = 3 - 4 + 4 = 3$ - $g(-1) = -3 - 4(-1)^2 + 4(-1) = -3 - 4 - 4 = -11$ - La courbe passe par ces points et monte continuellement. 4. **Montrer que l'équation $g(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ :** - Comme $g$ est strictement croissante et continue, l'équation $g(x) = 1$ admet une unique solution. - Vérifions les valeurs autour de 1 : - $g(0) = 0 < 1$ - $g(1) = 3 > 1$ - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in (0,1)$ tel que $g(\alpha) = 1$. 5. **Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près :** - Calculons $g(0.4)$ : $$g(0.4) = 3(0.4)^3 - 4(0.4)^2 + 4(0.4) = 3(0.064) - 4(0.16) + 1.6 = 0.192 - 0.64 + 1.6 = 1.152$$ - Calculons $g(0.3)$ : $$g(0.3) = 3(0.027) - 4(0.09) + 1.2 = 0.081 - 0.36 + 1.2 = 0.921$$ - Comme $g(0.3) < 1 < g(0.4)$, on a : $$0.3 < \alpha < 0.4$$ - Donc $\alpha$ est encadré à $10^{-1}$ près par $[0.3, 0.4]$. **Réponse finale :** - La fonction $g$ est strictement croissante. - L'équation $g(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$. - Cette solution vérifie $$0.3 < \alpha < 0.4$$.