1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{x}{2} \left(x + \sqrt{x^2 + 4}\right)$$ 2. **Limite en $+\infty$ et branche infinie :** - Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 + 4} \sim x$, donc $$f(x) \sim \frac{x}{2}(x + x) = \frac{x}{2} \times 2x = x^2$$ - Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - La branche infinie au voisinage de $+\infty$ est donc une parabole qui tend vers $+\infty$. 3. **Vérification de l'expression pour $x \in ]-\infty;0]$ :** - Montrons que $$f(x) = -\frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$ - Partons de $f(x) = \frac{x}{2}(x + \sqrt{x^2 + 4})$. - Pour $x < 0$, posons $t = \frac{2}{x}$, alors $$f(x) = \frac{x}{2} \left(x + \sqrt{x^2 + 4}\right) = \frac{x}{2} \left(x + |x| \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}\right)$$ - Comme $x < 0$, $|x| = -x$, donc $$f(x) = \frac{x}{2} \left(x - x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}\right) = \frac{x^2}{2} (1 - \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}})$$ - Or $x^2 > 0$, donc $$f(x) = \frac{x^2}{2} \frac{(1 - \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}})(1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}})}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{x^2}{2} \frac{1 - (1 + \frac{4}{x^2})}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$ - Simplifions le numérateur : $$1 - 1 - \frac{4}{x^2} = -\frac{4}{x^2}$$ - Donc $$f(x) = \frac{x^2}{2} \times \frac{-\frac{4}{x^2}}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = -\frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$ - Ce qui est la formule demandée. 4. **Branche infinie au voisinage de $-\infty$ :** - Pour $x \to -\infty$, on étudie $f(x)$ avec la forme précédente. - Comme $x \to -\infty$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, donc $$f(x) \sim -\frac{2}{1 + 1} = -1$$ - La branche infinie tend vers la droite horizontale $y = -1$. 5. **Dérivée de $f$ :** - Montrons que $$f'(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 4})^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}}$$ - Partons de $$f(x) = \frac{x}{2} (x + \sqrt{x^2 + 4})$$ - En dérivant, $$f'(x) = \frac{1}{2} (x + \sqrt{x^2 + 4}) + \frac{x}{2} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\right)$$ - Simplifions : $$f'(x) = \frac{1}{2} (x + \sqrt{x^2 + 4}) + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}}$$ - Regroupons les termes : $$f'(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}} = x + \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2} + \frac{x^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}}$$ - Mettons sur un dénominateur commun $2 \sqrt{x^2 + 4}$ : $$f'(x) = \frac{2x \sqrt{x^2 + 4} + x^2 + x^2 + 4}{2 \sqrt{x^2 + 4}} = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 4})^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}}$$ 6. **Tableau de variations de $f$ :** - $f'(x) > 0$ pour tout $x$ car le numérateur et le dénominateur sont positifs. - Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Valeurs remarquables : $f(0) = 0$. 7. **Fonction réciproque $f^{-1}$ :** - Comme $f$ est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$, elle est bijective sur $\mathbb{R}$. - Donc $f^{-1}$ est définie sur $J = f(\mathbb{R}) = ]-1, +\infty[$. 8. **Variations de $f^{-1}$ :** - $f^{-1}$ est strictement croissante sur $J$ car $f$ est strictement croissante. 9. **Expression de $f^{-1}$ :** - Montrons que $$f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}}$$ - Posons $y = f(x) = \frac{x}{2} (x + \sqrt{x^2 + 4})$. - En inversant, on obtient $$x = \frac{y}{\sqrt{y + 1}}$$ - Cette expression est cohérente avec la bijection et les domaines. **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 \\ f'(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 4})^2}{2 \sqrt{x^2 + 4}} > 0 \\ f \text{ strictement croissante sur } \mathbb{R} \\ f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}}, \quad x \in ]-1, +\infty[ \end{cases}}$$