1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$. 2. **Domaine de définition (Df0)** : La fonction est définie pour tous les réels sauf là où le dénominateur est nul. $$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$ Donc, $$Df0 = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$. 3. **Continuité** : La fonction est continue sur son domaine de définition, c'est-à-dire partout sauf en $$x = -1$$ et $$x = 1$$ où elle a des discontinuités (pôles). 4. **Limites aux bornes et asymptotes** : - Limite en $$x \to 1^-$$ : $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = +\infty$$ - Limite en $$x \to 1^+$$ : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$$ - Limite en $$x \to -1^-$$ : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$$ - Limite en $$x \to -1^+$$ : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$$ - Limite en $$x \to \pm \infty$$ : $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1$$ Donc, asymptotes verticales en $$x = \pm 1$$ et asymptote horizontale en $$y = 1$$. 5. **Dérivée $$f'(x)$$ et variations** : Utilisons la dérivée du quotient : $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2}$$ Simplifions le numérateur : $$2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1) = 2x x^2 - 2x - 2x x^2 - 2x = -4x$$ Donc : $$f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$$ Étudions le signe de $$f'(x)$$ : - Le dénominateur est toujours positif sauf en $$x = \pm 1$$ où il est nul. - Le signe de $$f'(x)$$ dépend donc de $$-4x$$ : - Pour $$x > 0$$, $$f'(x) < 0$$ (fonction décroissante) - Pour $$x < 0$$, $$f'(x) > 0$$ (fonction croissante) - En $$x = 0$$, $$f'(0) = 0$$, donc un extremum local. 6. **Tableau de variation** : \begin{tabular}{c|ccc|ccc} x & -\infty & & 0 & & 1^- & 1^+ \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & & \\ f(x) & \to 1^+ & \nearrow & 1 & \searrow & -\infty & +\infty \\ \end{tabular} La fonction est croissante sur $$(-\infty, 0)$$, décroissante sur $$(0,1)$$, avec une discontinuité en $$x=1$$. Symétriquement, pour $$x > 1$$, la fonction est décroissante vers l'asymptote horizontale. 7. **Conclusion et tracé** : - Domaine : $$\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$$ - Asymptotes verticales : $$x = -1$$ et $$x = 1$$ - Asymptote horizontale : $$y = 1$$ - Fonction croissante sur $$(-\infty, 0)$$, décroissante sur $$(0,1)$$ et $$(1, +\infty)$$. - Minimum local en $$x=0$$ avec $$f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1$$. Le graphe montre deux branches séparées par les asymptotes verticales, tendant vers $$y=1$$ à l'infini.