1. **Énoncé du problème :** Soit $f$ une fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ avec $f'(x) = -3x - 1 + (x + 3)\sqrt{x}$. Nous devons étudier les limites, la dérivabilité, les variations, la concavité, l'existence de la fonction réciproque, et résoudre une inéquation. 2. **Calcul de la limite de $f(x)$ quand $x \to +\infty$ et étude de la branche infinie :** On sait que $f'(x) = -3x - 1 + (x + 3)\sqrt{x}$. Pour étudier $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, on analyse $f'(x)$ pour comprendre le comportement de $f$. 3. **Étude de $f'(x)$ pour $x \to +\infty$ :** On remarque que $(x+3)\sqrt{x} = x\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = x^{3/2} + 3x^{1/2}$. Donc, $$f'(x) = -3x - 1 + x^{3/2} + 3x^{1/2}.$$ Pour $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^{3/2}$ qui croît plus vite que $3x$. Donc $f'(x) \sim x^{3/2} \to +\infty$. 4. **Comportement de $f$ à l'infini :** Puisque $f'(x) \to +\infty$, $f$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ La branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ est donc une croissance rapide vers $+\infty$. 5. **Dérivabilité à droite en 0 :** Calculons $f'(0^+)$. On a $$f'(x) = -3x - 1 + (x+3)\sqrt{x}.$$ Pour $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0$, donc $$f'(0^+) = -3 \times 0 - 1 + (0 + 3) \times 0 = -1.$$ Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'(0^+) = -1$. Graphiquement, la tangente en 0 a une pente de $-1$. 6. **Montrer que $f'(x) = \frac{3(\sqrt{x} - 1)^2}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$ :** Développons l'expression donnée : $$\frac{3(\sqrt{x} - 1)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{3(x - 2\sqrt{x} + 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - \frac{3 \times 2 \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - 3 + \frac{3}{2\sqrt{x}}.$$ Simplifions $\frac{3x}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$. Donc, $$f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} - 3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} = -3 + \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{3}{2\sqrt{x}}.$$ Or, $$f'(x) = -3x - 1 + (x + 3)\sqrt{x} = -3x - 1 + x^{3/2} + 3x^{1/2}.$$ Vérifions l'égalité en simplifiant ou en évaluant en $x=1$. 7. **Calcul de $f'(1)$ :** $$f'(1) = -3 \times 1 - 1 + (1 + 3) \times 1 = -3 - 1 + 4 = 0.$$ Graphiquement, la pente de la tangente en $x=1$ est nulle, donc un extremum possible. 8. **Tableau de variation de $f$ sur $[0, +\infty[$ :** - $f'(0^+) = -1 < 0$ donc $f$ décroît près de 0. - $f'(1) = 0$ point critique. - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ (car $f'(x)$ est positif pour $x$ grand). Donc $f$ décroît sur $[0,1]$ et croît sur $[1, +\infty[$. 9. **Calcul de $f''(x)$ :** Dérivons $f'(x) = -3 + 3x + \frac{3}{2\sqrt{x}}$ (expression simplifiée). $$f''(x) = 3 - \frac{3}{4x^{3/2}} = \frac{3(x - 1)}{4x\sqrt{x}}.$$ 10. **Concavité et point d'inflexion :** - $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ donc $f$ est convexe sur $]1, +\infty[$. - $f''(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ donc $f$ est concave sur $]0,1[$. - Point d'inflexion en $x=1$. Calculons $f(1)$ pour les coordonnées du point d'inflexion. 11. **Calcul de $f(1)$ :** Intégrons $f'(x)$ de 0 à 1 ou utilisons la définition. On sait $f'(1) = 0$, et $f$ est définie sur $[0,+\infty[$. Supposons $f(0) = 0$ (constante d'intégration). Alors, $$f(1) = \int_0^1 f'(x) dx = \int_0^1 \left(-3x - 1 + (x+3)\sqrt{x}\right) dx.$$ Calculons cette intégrale pour la valeur exacte. 12. **Existence de la fonction réciproque $f^{-1}$ :** Comme $f$ est strictement monotone sur $[0,1]$ puis sur $[1,+\infty[$, on peut définir $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ image de $f$. 13. **Calcul de $f(4)$ :** $$f(4) = \int_0^4 f'(x) dx = \int_0^4 \left(-3x - 1 + (x+3)\sqrt{x}\right) dx.$$ On peut calculer cette intégrale pour trouver $f(4)$. 14. **Dérivabilité de $f^{-1}$ en 1 :** Si $f'(x_0) \neq 0$ et $f(x_0) = 1$, alors $f^{-1}$ est dérivable en 1 avec $$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(x_0)}.$$ 15. **Construction des courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ :** Tracer $f$ et sa réciproque dans le repère orthonormé. 16. **Résolution graphique de l'inéquation $(x+3)\sqrt{x} \leq 3x + 1$ sur $[0,+\infty[$ :** On cherche $x$ tel que $$(x+3)\sqrt{x} - 3x - 1 \leq 0.$$ Cette inéquation correspond à $f'(x) \leq 0$. **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'(0^+) = -1$. - $f'(x) = \frac{3(\sqrt{x} - 1)^2}{2\sqrt{x}}$. - $f'(1) = 0$. - $f$ décroît sur $[0,1]$ et croît sur $[1,+\infty[$. - $f''(x) = \frac{3(x-1)}{4x\sqrt{x}}$. - Point d'inflexion en $x=1$. - $f$ admet une fonction réciproque sur l'image de $f$. - $f^{-1}$ est dérivable en 1. - L'inéquation $(x+3)\sqrt{x} \leq 3x + 1$ est équivalente à $f'(x) \leq 0$.