1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ définie sur $[0, +\infty[$. 2. **Calcul des limites :** - Limite en $+\infty$ de $f(x)$ : $$f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(x - 4\sqrt{x} + 4) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x$$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^2$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ - Limite en $+\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4$$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$$ - Limite en $0^+$ de $f(x)$ : $$f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$$ Quand $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0$, donc $$(\sqrt{x} - 2)^2 \to 4$$ Ainsi, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \times 4 = 0$$ 3. **Interprétation géométrique de $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ :** Cela signifie que la courbe $C_f$ passe par l'origine $(0,0)$ et que la fonction est continue à droite en 0. 4. **Forme alternative de $f(x)$ :** On a aussi $$f(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)$$ Cette forme peut aider à étudier les racines et le signe de $f$. 5. **Dérivée seconde donnée :** $$f''(x) = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}}$$ 6. **Étude du signe de $f''(x)$ :** - Le dénominateur $\sqrt{x} > 0$ pour $x > 0$. - Le numérateur $2\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2.25$. Donc : - Pour $x < 2.25$, $f''(x) < 0$ (fonction concave). - Pour $x > 2.25$, $f''(x) > 0$ (fonction convexe). 7. **Résumé :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ - La fonction est nulle en $x=0$. - La concavité change en $x=2.25$. Cela donne une bonne compréhension de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$.