1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x-2}$ et sa courbe représentative $(C_f)$. 2. Détermination de l'ensemble de définition $D_f$ : La fonction $f$ est définie pour tous les $x$ sauf ceux qui annulent le dénominateur $x-2$. Donc, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. 3. Calcul des limites : - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + \frac{1}{x-2}\right) = +\infty$ car $x$ domine. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x - 1 + \frac{1}{x-2}\right) = -\infty$. - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 - 1 + \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = 1 + +\infty = +\infty$. - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 + \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = 1 + (-\infty) = -\infty$. Interprétation : La droite $x=2$ est une asymptote verticale. 4. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x-2}$. $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2-1)(x-2+1)}{(x-2)^2} = \frac{(x-3)(x-1)}{(x-2)^2}$. 5. Étude des variations : - Dénominateur $(x-2)^2 > 0$ pour $x \neq 2$. - Signe de $f'(x)$ dépend de $(x-1)(x-3)$. - $f'(x) > 0$ pour $x < 1$ ou $x > 3$. - $f'(x) < 0$ pour $1 < x < 3$. Donc, $f$ est croissante sur $(-\infty,1)$, décroissante sur $(1,3)$, et croissante sur $(3,+\infty)$. 6. Tableau de variations : \begin{tabular}{c|cccccc} $x$ & $-\infty$ & & 1 & & 3 & $+\infty$ \\ \hline $f'(x)$ & & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ \\ $f(x)$ & $-\infty$ & \nearrow & $f(1)$ & \searrow & $f(3)$ & \nearrow \\ \end{tabular} 7. Calcul de la tangente en $x=0$ : $f(0) = 0 - 1 + \frac{1}{0-2} = -1 - \frac{1}{2} = -1.5$. $f'(0) = \frac{(0-1)(0-3)}{(0-2)^2} = \frac{(-1)(-3)}{4} = \frac{3}{4}$. Équation de la tangente $T$: $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = \frac{3}{4}x - 1.5$. 8. Symétrie centrale en $A(2,1)$ : Montrons que $f(2 + h) + f(2 - h) = 2$ pour $h \neq 0$. Calcul : $f(2+h) = (2+h) - 1 + \frac{1}{(2+h)-2} = 1 + h + \frac{1}{h}$. $f(2 - h) = (2 - h) - 1 + \frac{1}{(2 - h) - 2} = 1 - h + \frac{1}{-h} = 1 - h - \frac{1}{h}$. Somme : $f(2+h) + f(2 - h) = (1 + h + \frac{1}{h}) + (1 - h - \frac{1}{h}) = 2$. Cela montre que $A$ est un centre de symétrie. 9. Asymptote oblique $y = x - 1$ : Étudions $f(x) - (x - 1) = \frac{1}{x-2}$. $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x-2} = 0$. Donc, $y = x - 1$ est une asymptote oblique aux deux infinis.