1. Énonçons le problème : Étudier la fonction $$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$$. 2. Domaine de définition : Le dénominateur $$x^2 + 1$$ est toujours strictement positif pour tout $$x \in \mathbb{R}$$, donc le domaine est $$\mathbb{R}$$. 3. Étude des limites : - Lorsque $$x \to +\infty$$, $$f(x) \approx \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$$. - Lorsque $$x \to -\infty$$, même raisonnement, $$f(x) \to 0$$. 4. Dérivée : Calculons $$f'(x)$$ pour étudier la monotonie. $$$ f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - (x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} $$$ 5. Étudions le signe de $$f'(x)$$ : Le dénominateur est toujours positif, donc le signe dépend du numérateur $$-x^2 + 2x + 1$$. 6. Résolvons $$-x^2 + 2x + 1 = 0$$ : $$$ -x^2 + 2x + 1 = 0 \iff x^2 - 2x - 1 = 0 $$$ Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8$$. Racines : $$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$. 7. Signe de $$f'(x)$$ : - Pour $$x \in (-\infty, 1 - \sqrt{2})$$, $$f'(x) < 0$$. - Pour $$x \in (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$$, $$f'(x) > 0$$. - Pour $$x \in (1 + \sqrt{2}, +\infty)$$, $$f'(x) < 0$$. 8. Conclusion sur la monotonie : - La fonction décroît sur $$(-\infty, 1 - \sqrt{2})$$. - Elle croît sur $$ (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$$. - Elle décroît sur $$ (1 + \sqrt{2}, +\infty)$$. 9. Calcul des extremums : - $$f(1 - \sqrt{2}) = \frac{1 - \sqrt{2} - 1}{(1 - \sqrt{2})^2 + 1} = \frac{-\sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})^2 + 1}$$. - $$f(1 + \sqrt{2}) = \frac{1 + \sqrt{2} - 1}{(1 + \sqrt{2})^2 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})^2 + 1}$$. 10. Valeurs exactes : - $$ (1 - \sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$$ donc $$f(1 - \sqrt{2}) = \frac{-\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{-\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}$$. - $$ (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$$ donc $$f(1 + \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}}$$. 11. Interprétation : - $$f(1 - \sqrt{2})$$ est un minimum local. - $$f(1 + \sqrt{2})$$ est un maximum local. 12. Résumé : - Domaine : $$\mathbb{R}$$. - Limites en $$\pm \infty$$ : $$0$$. - Fonction décroissante puis croissante puis décroissante. - Minimum local en $$x = 1 - \sqrt{2}$$. - Maximum local en $$x = 1 + \sqrt{2}$$. Ceci conclut l'étude complète de la fonction.