1. Énoncé du problème : On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $$f(x) = (x - 2)\sqrt{x} - \frac{1}{2}x.$$ Nous allons étudier la fonction, calculer sa dérivée, puis étudier son sens de variation (tableau de signes) et ses extrema (maximum, minimum).\n\n2. Rappel des formules et règles importantes :\n- La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$.\n- La dérivée d'un produit $u(x)v(x)$ est $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.\n- Le sens de variation d'une fonction est donné par le signe de sa dérivée.\n\n3. Calcul de la dérivée $f'(x)$ :\nPosons $u(x) = x - 2$ et $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.\nAlors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.\n\nOn a $$f(x) = u(x)v(x) - \frac{1}{2}x.$$\nDonc $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) - \frac{1}{2}.$$\nCalculons chaque terme :\n$$u'(x)v(x) = 1 \times \sqrt{x} = \sqrt{x},$$\n$$u(x)v'(x) = (x - 2) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x - 2}{2\sqrt{x}}.$$\nAinsi, $$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x - 2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2}.$$\n\n4. Simplification de $f'(x)$ :\nMettons tout au même dénominateur $2\sqrt{x}$ :\n$$f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x}} + \frac{x - 2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} = \frac{2x + x - 2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} = \frac{3x - 2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2}.$$\n\nMettons $\frac{1}{2}$ aussi au dénominateur $2\sqrt{x}$ :\n$$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$\nDonc, $$f'(x) = \frac{3x - 2 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$\n\n5. Étude du signe de $f'(x)$ :\nLe dénominateur $2\sqrt{x}$ est toujours positif pour $x > 0$.\nLe signe de $f'(x)$ dépend donc du numérateur $$3x - 2 - \sqrt{x}.$$\nPosons $$g(x) = 3x - 2 - \sqrt{x}.$$\n\n6. Résolution de $g(x) = 0$ :\nPosons $t = \sqrt{x} \geq 0$, alors $x = t^2$.\nOn a $$g(x) = 3t^2 - 2 - t = 0 \implies 3t^2 - t - 2 = 0.$$\n\nRésolvons l'équation quadratique :\n$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25.$$\n$$t = \frac{1 \pm 5}{2 \times 3} = \frac{1 \pm 5}{6}.$$\n\nLes solutions sont :\n- $t_1 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ (non retenue car $t \geq 0$)\n- $t_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1.$\n\nDonc $g(x) = 0$ pour $t = 1$, c'est-à-dire $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1.$\n\n7. Signe de $g(x)$ :\n- Pour $x < 1$, testons $x=0.25$ : $g(0.25) = 3 \times 0.25 - 2 - 0.5 = 0.75 - 2 - 0.5 = -1.75 < 0.$\n- Pour $x > 1$, testons $x=4$ : $g(4) = 3 \times 4 - 2 - 2 = 12 - 2 - 2 = 8 > 0.$\n\nDonc $g(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ et $g(x) > 0$ pour $x > 1$.\n\n8. Conclusion sur le sens de variation :\n- $f'(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ donc $f$ décroît sur $(0,1)$.\n- $f'(x) > 0$ pour $x > 1$ donc $f$ croît sur $(1, +\infty)$.\n\n9. Calcul de $f(1)$ pour déterminer l'extrémum :\n$$f(1) = (1 - 2) \times \sqrt{1} - \frac{1}{2} \times 1 = (-1) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5.$$\n\n10. Résumé :\n- La fonction $f$ est décroissante sur $(0,1)$, croissante sur $(1,+\infty)$.\n- Elle admet un minimum local en $x=1$ de valeur $f(1) = -1.5$.