1. **Énoncé du problème :** Trouver l'équivalent de la suite $$u_n = \frac{e^n + n!}{\operatorname{ch}(2n) - \operatorname{th}(n)}$$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 2. **Rappel des définitions et propriétés importantes :** - $e^n$ est la fonction exponentielle. - $n!$ (factorielle de $n$) croît très rapidement, plus vite que toute exponentielle. - $\operatorname{ch}(x) = \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$. - $\operatorname{th}(x) = \tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. 3. **Étude du numérateur :** - $e^n$ croît exponentiellement. - $n!$ croît plus vite que $e^n$ (par la formule de Stirling, $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$). - Donc, pour $n$ grand, $n!$ domine $e^n$. - Ainsi, $e^n + n! \sim n!$. 4. **Étude du dénominateur :** - $\operatorname{ch}(2n) = \frac{e^{2n} + e^{-2n}}{2} \sim \frac{e^{2n}}{2}$ car $e^{-2n}$ devient négligeable. - $\operatorname{th}(n) = \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}} \to 1$ quand $n \to \infty$. - Donc, $\operatorname{ch}(2n) - \operatorname{th}(n) \sim \frac{e^{2n}}{2} - 1 \sim \frac{e^{2n}}{2}$. 5. **Calcul de l'équivalent :** $$ u_n \sim \frac{n!}{\frac{e^{2n}}{2}} = 2 \frac{n!}{e^{2n}}. $$ 6. **Utilisation de la formule de Stirling pour $n!$ :** $$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n = \sqrt{2\pi n} \frac{n^n}{e^n}. $$ 7. **Substitution dans l'équivalent :** $$ u_n \sim 2 \frac{\sqrt{2\pi n} \frac{n^n}{e^n}}{e^{2n}} = 2 \sqrt{2\pi n} \frac{n^n}{e^{3n}}. $$ 8. **Conclusion :** La suite $u_n$ est équivalente à $$ 2 \sqrt{2\pi n} \frac{n^n}{e^{3n}}. $$ Cela signifie que pour $n$ grand, $u_n$ se comporte comme cette expression.