1. **Énoncé du problème :** Déterminer pour chaque expression l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression est définie (a un sens). 2. **Rappel important :** La fonction logarithme népérien $\ln(y)$ est définie uniquement pour $y > 0$. --- **Exercice 34 :** 34 a) $\ln(x - 3)$ - Condition : $x - 3 > 0$ - Donc $x > 3$ 34 b) $\ln(2 - x)$ - Condition : $2 - x > 0$ - Donc $x < 2$ 34 c) $\frac{1}{\ln(x)}$ - Condition 1 : $\ln(x)$ défini donc $x > 0$ - Condition 2 : dénominateur non nul $\ln(x) \neq 0$ - Or $\ln(x) = 0 \iff x = 1$ - Donc $x > 0$ et $x \neq 1$ --- **Exercice 35 :** 35 a) $\ln(x^2)$ - Condition : $x^2 > 0$ - $x^2 = 0$ seulement si $x=0$ - Donc $x \neq 0$ 35 b) $\ln(x^2 + 1)$ - $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$ réel - Donc défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ 35 c) $\ln(x^2 - 1)$ - Condition : $x^2 - 1 > 0$ - Factorisation : $(x-1)(x+1) > 0$ - Signe du produit : - Positif si $x < -1$ ou $x > 1$ - Donc $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ --- **Exercice 36 :** 36 a) $\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)$ - Condition : $\frac{x}{x-1} > 0$ - Étudions le signe du quotient : - Numérateur $x$ - Dénominateur $x-1$ - Le quotient est positif si numérateur et dénominateur ont même signe. - Cas 1 : $x > 0$ et $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ - Cas 2 : $x < 0$ et $x-1 < 0 \Rightarrow x < 0$ - Exclusion : $x \neq 1$ (dénominateur nul) - Donc $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$ 36 b) $\ln(x^2 - 3x + 2)$ - Condition : $x^2 - 3x + 2 > 0$ - Factorisation : $(x-1)(x-2) > 0$ - Produit positif si $x < 1$ ou $x > 2$ - Donc $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$ --- **Résumé des ensembles de définition :** - 34 a) $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}$ - 34 b) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$ - 34 c) $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0, x \neq 1\}$ - 35 a) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}$ - 35 b) $\mathbb{R}$ - 35 c) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ ou } x > 1\}$ - 36 a) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ ou } x > 1\}$ - 36 b) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \text{ ou } x > 2\}$