1. Énonçons le problème : déterminer si l'ensemble $$E = 2x + \frac{3x + 7}{x + 4}$$ pour $$x \in [1, 5[ $$ est majoré, minoré ou borné. 2. Étudions la fonction $$f(x) = 2x + \frac{3x + 7}{x + 4}$$ sur l'intervalle $$[1,5[ $$. 3. Calculons les limites aux bornes de l'intervalle : - En $$x=1$$ : $$f(1) = 2(1) + \frac{3(1) + 7}{1 + 4} = 2 + \frac{3 + 7}{5} = 2 + 2 = 4$$ - En approchant $$x \to 5^-$$ : $$f(5) = 2(5) + \frac{3(5) + 7}{5 + 4} = 10 + \frac{15 + 7}{9} = 10 + \frac{22}{9} = 10 + 2.444... = 12.444...$$ 4. La fonction est continue sur $$[1,5[ $$ et la limite en $$5$$ est finie. 5. Cherchons les extrema en dérivant : $$f'(x) = 2 + \frac{(3)(x+4) - (3x+7)(1)}{(x+4)^2} = 2 + \frac{3x + 12 - 3x - 7}{(x+4)^2} = 2 + \frac{5}{(x+4)^2}$$ 6. Comme $$ (x+4)^2 > 0 $$ pour tout $$x \in [1,5[ $$, alors $$f'(x) = 2 + \frac{5}{(x+4)^2} > 0$$. 7. La fonction est strictement croissante sur $$[1,5[ $$. 8. Donc, le minimum est atteint en $$x=1$$ avec $$f(1) = 4$$ et la fonction tend vers $$12.444...$$ quand $$x \to 5^-$$. 9. Conclusion : - $$E$$ est minoré par $$4$$. - $$E$$ est majoré par $$12.444...$$. - Donc, $$E$$ est borné. Réponse finale : L'ensemble $$E$$ est borné, minoré par $$4$$ et majoré par environ $$12.444$$.