1. Énoncé du problème : Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $x \in [-1,1]$ et $2y \in [-4,-2]$. On doit encoder $2xy$ et $x^2 + y^2$. 2. Trouvons d'abord l'intervalle de $y$ à partir de $2y \in [-4,-2]$ : $$y \in \left[\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right] = [-2,-1].$$ 3. Encadrement de $2xy$ : - Puisque $x \in [-1,1]$ et $y \in [-2,-1]$, le produit $xy$ varie entre les extrêmes des produits des bornes. - Les produits possibles sont : $(-1)(-2)=2$, $(-1)(-1)=1$, $(1)(-2)=-2$, $(1)(-1)=-1$. - Donc $xy \in [-2,2]$. - Par conséquent, $2xy \in 2 \times [-2,2] = [-4,4]$. 4. Encadrement de $x^2 + y^2$ : - $x^2$ avec $x \in [-1,1]$ varie de $0$ à $1$. - $y^2$ avec $y \in [-2,-1]$ varie de $1$ à $4$ (car $y^2$ est toujours positif et $|y|$ est entre 1 et 2). - Donc $x^2 + y^2$ varie entre $0 + 1 = 1$ et $1 + 4 = 5$. 5. Encadrement de $(x + y)^4$ : - D'abord, encadrons $x + y$. - $x + y \in [-1 + (-2), 1 + (-1)] = [-3, 0]$. - Puisque la puissance est paire, $(x + y)^4$ est positive. - Le minimum de $(x + y)^4$ est atteint en $x + y = 0$, donc minimum $0^4 = 0$. - Le maximum est atteint en $x + y = -3$, donc maximum $(-3)^4 = 81$. Réponse finale : - $2xy \in [-4,4]$ - $x^2 + y^2 \in [1,5]$ - $(x + y)^4 \in [0,81]$