1. Énoncé du problème : Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in \left]0, \frac{1}{2}\right[$ tel que $f(c) = f\left(c + \frac{1}{2}\right)$. 2. Définissons la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - f\left(x + \frac{1}{2}\right)$ pour $x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$. 3. Comme $f$ est continue sur $[0,1]$, $g$ est continue sur $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ car elle est la différence de deux fonctions continues. 4. Calculons $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ : $$g(0) = f(0) - f\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(1)$$ 5. Or, on sait que $f(0) = f(1)$, donc $$g(0) = f(0) - f\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0) = -g(0)$$ 6. Ainsi, $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ sont de signes opposés ou nuls. 7. Par le théorème des valeurs intermédiaires, puisque $g$ est continue sur $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ et que $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ont des signes opposés ou sont nuls, il existe $c \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ tel que $$g(c) = 0$$ 8. Cela signifie que $$f(c) = f\left(c + \frac{1}{2}\right)$$ 9. Enfin, $c$ ne peut pas être $0$ ni $\frac{1}{2}$ car sinon on aurait $f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ ou $f\left(\frac{1}{2}\right) = f(1)$, ce qui est possible mais la question demande $c \in \left]0, \frac{1}{2}\right[$, donc on choisit ce $c$ dans l'intervalle ouvert. Conclusion : Il existe bien un $c \in \left]0, \frac{1}{2}\right[$ tel que $f(c) = f\left(c + \frac{1}{2}\right)$.