1. Énonçons le problème : On nous donne la fonction $f(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{\sqrt{1-x}}\right)$ définie sur $]-1,1[$. 2. La question est de vérifier si le développement en série de Taylor (DSE) de cette fonction est donné par $$\ln\left(1 + \frac{x}{\sqrt{1-x}}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{2n}.$$ 3. Pour cela, rappelons que le développement en série de Taylor d'une fonction $g(x)$ autour de 0 est $$g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n,$$ et que la convergence doit être vérifiée sur l'intervalle donné. 4. Observons que la série proposée ne contient que des puissances paires $x^{2n}$, ce qui suggère que la fonction est paire ou que le développement ne contient que des termes pairs. 5. Cependant, la fonction $f(x)$ n'est pas paire car $f(-x) \neq f(x)$ en général. 6. De plus, en développant $\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ en série de puissances, on obtient des termes en $x$ de toutes puissances, pas seulement paires. 7. Par conséquent, la série donnée ne correspond pas au développement en série de Taylor de la fonction $f(x)$. 8. La réponse correcte est donc **Faux**. **Réponse finale :** b. Faux